Un ejemplo de cálculo de álgebra lineal con la herramienta GNU Octave

El software matemático GNU Octave —pertenece al software libre, y por tanto, es gratuito— es una valiosa herramienta empleada en el cálculo y en el análisis numérico —ofrece también un nutrido repertorio de utilidades para la elaboración de gráficas— que no es difícil de empezar a utilizar en Bachillerato si restringimos sus prestaciones al currículo propio de dichos estudios, si bien sus posibilidades van mucho más allá, orientándose realmente a los estudios universitarios, incluso a la investigación. Para animaros a que lo utilicéis, en este ejemplo muestro cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado empleando el método de la matriz inversa. És claro que no podréis usar esta herramienta en los exámenes de acceso a la universidad y en los exámenes ordinarios (por lo menos, de momento), pero os ayudará enormemente cuando estudiéis la asignatura en vuestra casas, permitiéndoos investigar en los conceptos y procedimientos, así como contrastar, comprobar o, simplemente, saltaros los procedimientos rutinarios (ya aprendidos) para resolver problemas más interesantes.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incóngitas $$\left.\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&2y&+&3z&=&2 \\ x&+&3y&-&z&=&3\end{matrix}\right\}$$ que en forma matricial puede escribirse de la forma $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$ Entendiendo por $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, por $X$ el vector columna de las incóngnitas y por $B$ el vector columna de los términos independientes, podemos escribir la ecuación matricial $$AX=B$$ Multiplicando ambos miembros por $A^{-1}$, se tiene que $A^{-1}AX=A^{-1}B$, y como $A^{-1}A=I$ (matriz identidad), teniendo en cuenta que $IX=X$, llegamos a $$X=A^{-1}B$$ Esto constituye el método de la matriz inversa para resolver el sistema de ecuaciones, obteniendo éstas, esto es, el vector columna de las incógnitas, que, claro está, para poder aplicarlo es necesario que $\text{det}(A)\neq 0$ (el sistema tiene que ser compatible).

Voy ahora a resolverlo, con la ayuda del GNU Octave:

  >> A=[1,1,1;1,-2,3;1,3,-1]
A =

   1   1   1
   1  -2   3
   1   3  -1
   
>> det(A)
ans = 2
% Como el determinante de la matriz de los coeficientes es
% distinto de cero, la matriz es regular (inversible) y su 
% rango es 3; en efecto,

>> rank(A)
ans = 3


% Analicemos el sistema según el tipo de solución
% (teorema de Rouché-Fröbenius)
% luego el sistema es compatible; 
% Además, es compatible, habida cuenta de que 
% el rango de la matriz ampliada es también 3,

% (en efecto, el rango de la matriz ampliada es 3)

>> A_a=[1,1,1,1;1,-2,3,2;1,3,-1,3]
A_a =

   1   1   1   1
   1  -2   3   2
   1   3  -1   3

>> rank(A_a)
ans = 3

% Por otra parte, el rango, que es 3, 
% es igual al número de incóngitas
% por lo que el sistema es (compatible) determinado


% Procedo a resolverlo,
% calculando la matriz inversa de A: 
>> A_i=inv(A)
A_i =

  -3.5000   2.0000   2.5000
   2.0000  -1.0000  -1.0000
   2.5000  -1.0000  -1.5000


% Compruebo que está bien calculada:
% el producto de la matriz A por su inversa
% (y el de la inversa de A por A)
% ha de ser igual a la matriz identidad

>> I=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
I =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1


>> A_i*A
ans =

   1.0000   0.0000        0
        0   1.0000        0
        0   0.0000   1.0000

>> A*A_i
ans =

   1.0000        0        0
   0.0000   1.0000   0.0000
        0        0   1.0000

% Finalmente, calculo el vector de las incóngitas X:

% (defino antes el vector de los términos independientes)
>> B=[1;2;3]
B =

   1
   2
   3

% Y he aquí la solución del sistema
>> X=A_i*B
X =

   8
  -3
  -4

% Compruebo la solución, sustituyendo en las ecuaciones
% los valores de las incóngitas que acabamos de calcular

% Los sustituyo en la primera ecuación
% Para ello, téngase en cuenta que 
% el valor de la variable x es X(1),
% y es X(2) 
% y z es X(3)
% ya que en el programa, X, es un arreglo ('array' o 'vector')
% que tiene estas tres componentes. 
% En efecto:

>> X(1)+X(2)+X(3)
ans = 1
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma


% Los sustituyo en la segunda ecuación
>> X(1)-2*X(2)+3*X(3)
ans = 2
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma

% Los sustituyo en la tercera ecuación
>> X(1)+3*X(2)-X(3)
ans = 3
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma.

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Referencias

[1] https://octave.org/. Página web de desarrollo y descarga del programa de cálculo GNU Octave.
[2] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers, https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf. Manual actualizado de la herramienta GNU Octave.

Otro ejercicio de integración de funciones definidas a trozos: integral definida de la función techo entre -1 y 2

Vamos a calcular la integral $$\displaystyle \int_{-2}^{1}\,\left \lceil x \right \rceil\,dx$$ donde $\left \lceil x \right \rceil$ denota la función techo, que, para todo número real $x$, se define como $$\left \lceil x \right \rceil := \text{mínimo}(\{\ell\in \mathbb{Z}:\ell \ge x\}$$ >Así, por ejemplo, $\left \lceil 2,7 \right \rceil=3$; $\left \lceil -4,6 \right \rceil=-4$, etcétera.

De acuerdo pues con la definición de dicha función, podemos escribir: $$\displaystyle \int_{-2}^{1}\,\left \lceil x \right \rceil\,dx=\int_{-2}^{-1}\,(-1)\,dx+\int_{-1}^{0}\,0\,dx+\int_{0}^{1}\,1\,dx=-\left[x\right]_{-2}^{-1}+0\cdot \left[x\right]_{-1}^{0}+1\cdot \left[x\right]_{0}^{1}=$$ $$=-\left(-1-(-2)\right)+0+\left(1-0\right)=-(-1+2)+1=-1+1=0$$ $\diamond$

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Nota: Aquí podéis ver la gráfica de la función y el detalle del significado de la integral definida calculada. Como véis, la primera contribución a la misma es negativa; la segunda es nula, y la tercera positiva. También he comprobado el resultado con la herramienta WolframAlpha, tecleando en la celda de entradas $$\text{integrate}(\text{ceiling},x,-2,1)$$

Dos ejercicios de integración definida en los que interviene la función piso

Deseamos calcular el valor de la integral definida $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{x}{\left \lfloor x \right \rfloor}\,dx$$

Recordemos la definición de la función piso: $$\left \lfloor x \right \rfloor := \text{máximo}(\{\ell \le x: \ell \in \mathbb{Z}\}$$

Entonces, $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{x}{\left \lfloor x \right \rfloor}\,dx=\int_{1}^{2}\,\dfrac{x}{1}\,dx+\int_{2}^{3}\,\dfrac{x}{2}\,dx=\int_{1}^{2}\,x\,dx+\dfrac{1}{2}\,\int_{2}^{3}\,x\,dx=\left[ \dfrac{1}{2}\,x^2 \right]_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \left[ \dfrac{1}{2}\,x^2 \right]_{2}^{3}=$$ $$\displaystyle = \dfrac{1}{2} \cdot \left[ x^2 \right]_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \left[ x^2 \right]_{2}^{3}=\dfrac{1}{2} \cdot \left( 2^2-1^2 \right)+\dfrac{1}{4}\cdot \left( 3^2-2^2 \right)=\dfrac{1}{2} \cdot 3 +\dfrac{1}{4}\cdot 5 = \dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{6}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}$$

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Ahora voy a calcular el valor de la integral definida $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{\left \lfloor x \right \rfloor}{x}\,dx$$ que no es la misma que la primera que hemos resuelto, ya que $\dfrac{x}{\left \lfloor x \right \rfloor} \neq \dfrac{\left \lfloor x \right \rfloor}{x}$

$$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{\left \lfloor x \right \rfloor}{x}\,dx=\int_{1}^{2}\,\dfrac{1}{x}\,dx+\int_{2}^{3}\,\dfrac{2}{x}\,dx=\left[\ln(x)\right]_{1}^{2}+2\,\left[\ln(x)\right]_{2}^{3}=\left(\ln(2)-\ln(1)\right)+2\cdot \left( \ln(3)-\ln(2)\right)=$$ $$=\ln(2)-0+2\,\ln(3)-2\,\ln(2)=2\,\ln(3)-\ln(2)=\ln(3^2)-\ln(2)=\ln\left(3^2/2\right)=\ln\left(9/2\right)$$

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Y para acabar este artículo, expondré el cálculo de la integral definida $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,\dfrac{|x|}{\left \lfloor x \right \rfloor+2}\,dx$$

Teniendo en cuenta las definiciones de las funciones valor absoluto y piso: $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,\dfrac{|x|}{\left \lfloor x \right \rfloor+2}\,dx=\int_{-1}^{0}\,\dfrac{-x}{-1+2}\,dx+\int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{0+2}\,dx=\int_{-1}^{0}\,\dfrac{-x}{1}\,dx+\int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{2}\,dx=$$ $$\displaystyle =-\int_{-1}^{0}\,x\,dx+\dfrac{1}{2}\,\int_{0}^{1}\,x\,dx=-\left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{-1}^{0}+\dfrac{1}{2}\cdot \left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{0}^{1}=-\dfrac{1}{2}\cdot \left[x^2\right]_{-1}^{0}+\dfrac{1}{4}\cdot \left[x^2\right]_{0}^{1}=$$ $$=-\dfrac{1}{2}\cdot \left(0^2-(-1)^2\right)+\dfrac{1}{4}\cdot \left(1^2-0^2\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot (-1)+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$$

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Un ejercicio de integración con intervención de la función valor absoluto

Deseamos calcular el valor de la integral definida $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\left(\dfrac{x}{|x|}+\dfrac{2\,|x|}{x}\right)\,dx$$

Recordemos la definición de valor absoluto de un número real: $$\|x|:=\left\{\begin{matrix}x & \text{si} & x\gt 0 \\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.$$

Notemos que $\forall x \in \mathbb{R}: x^2=\left(|x|\right)^2 \Leftrightarrow x \cdot x=|x|\cdot|x|\; \Leftrightarrow \dfrac{x}{|x|}=\dfrac{|x|}{x} \therefore \dfrac{x}{|x|}+2\cdot \dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{|x|}\,\left( 1+2 \right)=\dfrac{3x}{|x|} $

Entonces, $\displaystyle \int_{1}^{3}\,\left(\dfrac{x}{|x|}+\dfrac{2\,|x|}{x}\right)\,dx=\int_{1}^{3}\,\dfrac{3x}{|x|}\,dx=3\,\int_{1}^{3}\,\dfrac{x}{|x|}\,dx = 3\,\int_{1}^{3}\,\dfrac{x}{x}\,dx \because\, |x|=x,\; \forall x \in [1,3]\subset \mathbb{R}$. En consecuencia, $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\left(\dfrac{x}{|x|}+\dfrac{2\,|x|}{x}\right)\,dx=3\,\int_{1}^{3}\,dx=\displaystyle 3\,\left[x\right]_{1}^{3}=3\cdot (3-1)=3\cdot 2=6$$ $\diamond$

Integrales definidas en las que interviene la función piso (también llamada función suelo, y, en algunos ámbitos, función parte entera)

Nos proponemos calcular la integral $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx$$, con $n$ un número entero positivo, y donde $\left \lfloor x \right \rfloor$ denota la función piso (o suelo), que, para todo número real $x$, se define como $\left \lfloor x \right \rfloor := \text{máximo}(\{\ell \le x: \ell \in \mathbb{Z}\}$

Ensayemos esta integral para fijando un valor de $n$, pongamos que $n=4$, para ver lo que ocurre. Al tratarse de una función a trozos, con un número finito —y, por tanto, numerable— de discontinuidades, la función $f(x)=x+\left \lfloor x \right \rfloor$ es integrable Riemann. Podéis ver en la siguiente figura la gráfica realizada con GeoGebra (tecleando $\text{floor}(x)$ para la función piso —sintaxis de la función piso en la mayor parte de los programas y calculadoras— en la línea de entrada), si bien también podemos hacerlo a mano sin ninguna dificultad:

Por otra parte, podemos servirnos del cálculo automático que nos ofrece WolframAlpha para saber qué encontraremos. Veámoslo en esta segunda figura, que he obtenido tecleando en la casilla de entradas de WolframAlpha lo siguiente: $$\text{integrate}(x+\text{floor}(x),x,0,4)$$

Reproduzcamos ahora este resultado, paso a paso: $\displaystyle \int_{0}^{4}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx=\int_{0}^{1}\,(x+0)\,dx+\int_{1}^{2}\,(x+1)\,dx+\int_{2}^{3}\,(x+2)\,dx+\int_{3}^{4}\,(x+3)\,dx$
  $\displaystyle=\left[\dfrac{1}{2}\,(x+0)^2\right]_{0}^{1}+\left[\dfrac{1}{2}\,(x+1)^2\right]_{1}^{2}+\left[\dfrac{1}{2}\,(x+2)^2\right]_{2}^{3}+\left[\dfrac{1}{2}\,(x+3)^2\right]_{3}^{4}$
    $\displaystyle=\dfrac{1}{2}\,\left((1+0)^2-(0+0)^2\right)+\dfrac{1}{2}\,\left((2+1)^2-(1+1)^2\right)+\dfrac{1}{2}\,\left((3+2)^2-(2+2)^2\right)+\dfrac{1}{2}\,\left((4+3)^2-(3+3)^2\right)$
      $=\dfrac{1}{2}\,\left(1+5+(25-16)+(49-36)\right)$
       $=\dfrac{1}{2}\,\left(1+5+9+13\right)$
          $=14$

Observemos que los términos entre paréntesis de la penúltima línea de arriba están en progresión aritmética, cuya diferencia es $d=4$, el primer término tiene valor $1$ y el cuarto $13$, y, por tanto, bien podemos escribir que $\displaystyle \int_{0}^{4}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(1+ 13)\cdot 4}{2}=14$ lo cual nos hace pensar en inducir una fórmula general para la integral $\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx$, con $n$ un número entero positivo, pues, visto cómo se ha desarrollado el cálculo de la integral definida pedida entre $0$ y $4$, fácilmente inducimos el siguiente resultado para esta otra, más general, cuyo resultado consta de $n$ términos de una progresión aritmética, con primer término, también, igual a $1$, y último término igual a $1+4\,(n-1)=4n-3$: $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx=\dfrac{1}{2}\,(1+5+9+13+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+(1+4\,(n-1)))=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(1+(4n-3))\,n}{2}=\dfrac{4n^2-2n}{4}=\dfrac{2n^2-n}{2}$$Notemos que, si $n=4$, obtenemos el resultado ya sabido: $\dfrac{2n^2-n}{2}=\dfrac{2\cdot 4^2-4}{2}=\dfrac{28}{2}=14$, como debe ser.

También podemos llegar directamente a este resultado general haciendo un poco de álgebra con sumatorios: $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx\overset{(1)}{=}\sum_{k=0}^{n-1}\,\int_{k}^{k+1}\,(x+k)\,dx$=\sum_{k=0}^{n-1}\,\dfrac{1}{2}\,\left((2k+1)^2-(2k)^2\right)=$$ $$=\dfrac{1}{2}\,\sum_{k=0}^{n-1}\,4k+1\overset{(2)}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(1+(4n-3))\,n}{2}=\dfrac{2n^2-n}{2}$$ Aclaraciones:
  (1): Entre $k=0$ y $k=n-1$ tenemos los $n$ sumandos del desarrollo
  (2): Recordemos que el término $n$-ésimo de una sucesión aritmética de diferencia $d$ y primer término $a_1$ es $a_n=a_1+d\,(n-1)$, y que la suma de los $n$ (sucesivos) primeros términos de dicha sucesión es $\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2}$. De ahí que la suma de los $n$ sucesivos primeros términos de una sucesión aritmética de primer término igual a $1$, diferencia igual a $4$, y último término igual a $1+4\,(n-1)$ es $\dfrac{(1+(4n-3))\,n}{2}$

Comentario: No siempre podremos evitar los desarrollos si empleamos herramientas de cálculo automático. Démonos cuenta de que al pedir a WolframAlpha que nos de directamente el resultado que acabamos de obtener, tecleando $$\text{integrate}(x+\text{floor}(x),x,0,n)$$ no obtenemos nada en claro:

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Integración de funciones racionales mediante la descomposición de la función integrando (racional) en suma de fracciones propias más sencillas. Un ejemplo

En este artículo vamos a resolver la integral indefinida $$\displaystyle \int\,\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}\,dx$$

El polinomio denominador de la función del integrando puede factorizarse, y fácilmente se obtiene que $$x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$$ Por lo que podemos intentar descomponer la función integrando $\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}$ de la forma $$\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1} \quad \quad (1)$$ con lo cual, la integral pedida se podrá escribir así: $$\displaystyle \int\,\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}\,dx=\int\,\dfrac{A}{x+1}\,dx+\int\,\dfrac{Bx+C}{x^2+1}\,dx$$ siendo las integrales del segundo miembro semi inmediatas.

Tendremos pues que calcular el valor de los coeficientes $A,B$ y $C$, reduciendo a común denominador la igualdad (1) se tiene que $$\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}=\dfrac{A\cdot (x^2+1)}{x+1}+\dfrac{(Bx+C)(x+1)}{x^2+1} \leftrightarrow 1=(A+B)\,x^2+(B+C)\,x+(A+C)$$ De donde, igualando términos del mismo grado entre ambos miembros: $$\left\{\begin{matrix}A+B=0\\ B+C=0\\ A+C=1\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}A=\dfrac{1}{2}\\ B=-\dfrac{1}{2}\\ C=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right. $$

Por consiguiente,
$\displaystyle \int\,\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}\,dx=$
  $=\displaystyle \int\,\dfrac{\frac{1}{2}}{x+1}\,dx+\int\,\frac{-\dfrac{1}{2}\,x+\frac{1}{2}}{x^2+1}\,dx$
    $=\displaystyle \dfrac{1}{2}\int\,\dfrac{1}{x+1}\,dx-\dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{x-1}{x^2+1}\,dx$
      $\displaystyle \dfrac{1}{2}\int\,\dfrac{1}{x+1}\,dx-\dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{x}{x^2+1}\,dx+\dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{1}{x^2+1}\,dx$
        $\displaystyle =\dfrac{1}{2}\int\,\dfrac{1}{x+1}\,dx-\dfrac{1}{4}\,\int\,\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx+\dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{1}{x^2+1}\,dx$
          $\displaystyle =\dfrac{1}{2}\,\ln(|x+1|)-\dfrac{1}{4}\,\ln(x^2+1)+\dfrac{1}{2}\,\text{arctan}(x)+C$
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Uso de las identidades trigonométricas de descomposición de «productos en sumas» para el cálculo de algunas integrales indefinidas que se presten a ello

Recordemos las siguientes identidades —ya justificadas aquí—, que podemos utilizar para obtener las funciones primitivas de las funciones producto de coseno por seno, seno por seno, y coseno por coseno: $$\sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1)$$ $$\cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2)$$ $$\sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3)$$ $$\sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)$$

Veamos un ejemplo de cómo calcular fácilmente —con la ayuda de este tipo de identidades— la función primitiva del tipo de integrales indefinidas a la que me refiero: $$\displaystyle \int\,\sin(4x)\cdot \cos(2x)\,dx$$

Empleando (1), se tiene que $$\sin(4x)\cdot \cos(2x)=\dfrac{1}{2}\left(\,\sin(4x+2x)+\sin(4x-2x)\,\right)=\dfrac{1}{2}\left(\,\sin(6x)+\sin(2x)\,\right)$$ por lo tanto $$\displaystyle \int\,\sin(4x)\cdot \cos(2x)\,dx = \displaystyle \int \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(6x)+\sin(2x)\,\right)\,dx = \displaystyle \dfrac{1}{2}\, \int \left(\,\sin(6x)+\sin(2x)\,\right)\,dx=$$ $$= \displaystyle \dfrac{1}{2}\, \int \sin(6x)\,dx + \displaystyle \dfrac{1}{2}\, \int \sin(2x)\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{6}\,\cos(6x)+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\,\cos(2x)+C=\dfrac{1}{12}\,\cos(6x)+\dfrac{1}{4}\,\cos(2x)+C$$ $\diamond$

Ejercicio con una integral indefinida, aperentemente complicada: $\displaystyle \int\,\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)+3}\,dx$

$$\displaystyle \int\,\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)+3}\,dx=\int\,\dfrac{\cos(x)\,dx}{\sin(x)+3}\overset{(1)}{=}\int\,\dfrac{d(\sin(x)+3)}{\sin(x)+3}=\ln\,(\sin(x)+3)+C$$ (1) $d(\sin(x)+3)=(sin(x)+3)'\,dx=\cos(x)\,dx$
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Derivación de funciones que incluyen el valor absoluto. Un ejemplo

En este ejercicio de derivación vamos a calcular las funciones derivadas primera, segunda y tercera de la siguiente función real de una variable real $$f(x)=x^2+|x^2-1|$$

Interpretando el significado del término que lleva el valor absoluto mediante la definición del mismo, $$|x^2-1|=\left\{\begin{matrix}x^2-1 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in \{-1,1\}\\-(x^2-1) & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$ podemos escribir la función dada expresándola como una función definida a trozos, al objeto de analizar así fácilmente la continuidad y la derivabilidad de la misma: $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+(x^2-1) & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 1+0 & \text{si}& x\in \{-1,1\}\\x^2+ \left(-(x^2-1)\right) & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$ esto es $$f(x)=\left\{\begin{matrix}2x^2-1 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 1 & \text{si}& x\in [-1,1]\end{matrix}\right.$$

Esta función es continua para todos los valores de $x$ de su dominio de definición, que es $(-\infty,+\infty)$, es decir en toda la recta real, $\mathbb{R}$; sin embargo, no es derivable ni en $x=-1$ ni $x=1$, ya que en estos puntos las derivades laterales no tienen el mismo valor, ya que es bien fácil comprovar que $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=-2\neq \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=0$, y $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=0\neq \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=2$. En los demás puntos del dominio de continuidad (el conjunt de los números reales en el caso que nos ocupa) la función sí es derivable, y fácilmente —aplicando la regla de derivación de las funciones potenciales en los dos tramos de la función dada— se obtiene que $$f'(x)=\left\{\begin{matrix}4x & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in [-1,1]\end{matrix}\right.$$

En esta figura (gráfica obtenida con GeoGebra) se muestra la función $f(x)$ en color verde, y la función derivada obtenida en color rojo:

La función derivada, $f'(x)$, cuyo dominio de definición es, también, toda la recta de los números reales, es discontinua en $x=-1$ y en $x=1$, luego para estos valores de $x$ no existe la derivada segunda, la cual se obtiene fácilmente aplicando la regla de la derivación potencial en los dos tramos de la función derivada primera: $$f''(x)=(f'(x))'=\left\{\begin{matrix}4 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$

Al no estar definida la función derivada segunda en $x=-1$ y tampoco en $x=1$, la derivada tercera $f'''(x)$ no existe para dichos valores de $x$, y para el resto, aplicando la regla de derivación de las funciones constantes en los dos tramos de la función segunda derivada que: $$f'''(x)=(f''(x))'=\left\{\begin{matrix}0 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$

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Cálculo integral y estática de fluidos. Un ejemplo sencillo de aplicación

Una presa de sección rectangular, cuyo anchura es $\ell$, retiene el agua de un embalse, con una profundidad uniforme $a$. Teniendo en cuenta que la superficie interior de la presa (la que está en contacto con el agua) es plana, ¿cómo se distribuyen las fuerzas debidas a la presión del agua en función de la profundidad?.

Denotemos por $x$ la profundidad (tomando como origen de profundidades la superficie del agua). Sabemos —de la asignatura de Física— que la presión hidrostática del agua a una profundidad $x$ es $p(x)=d\,g\,x$, donde $d$ designa la densidad del agua y $g$ la intensidad del campo gravitatorio.

  Por el principio de Pascal, y tomando un elemento rectangular diferencial de área en la pared de la presa, $dA(x)=\ell\,dx$, podemos escribir el elemento diferencial de fuerza que actúa sobre él como $dF(x)=p(x)\,dA(x)=p(x)\,\ell\,dx$, luego la fuerza del agua $F(x)$ sobre la pared a una profundida $x$ es $$F(x)=\int\,p(x)\ell\,dx=\int\,\ell\,d\,g\,x\,dx=\ell\,d\,g\,\int\,x\,dx=\dfrac{\ell\,d\,g}{2}\,x^2+C$$ y como para $x=0$, $F(x)=0$, luego $C=0$.

  Así pues, la distribución de la fuerza que actúa sobre la presa a lo largo de la profundidad es $F(x)=\dfrac{\ell\,d\,g}{2}\,x^2 \quad (1)$, que corresponde a una función cuadrática (parábola).

  La fuerza que actúa sobre la presa, debida a la presión de la columna de agua sobre el fondo, es $$F(a)=\dfrac{\ell\,d\,g}{2}\,a^2$$

  Nota: Otra forma de llegar al mismo resultado consiste en plantear la integral indefinida $$\displaystyle \int_{0}^{a}\,\ell\,d\,g\,x\,dx=\left[\dfrac{\ell\,d\,g}{2}\,x^2 \right]_{0}^{a}=\dfrac{\ell\,d\,g}{2}\,a^2$$

  De (1) se concluye que el grosor de la pared de la presa tiene que ser mayor cuanto mayor sea la profundidad, y, en buena lógica, la forma de la superficie exterior de la pared de la misma (la que no está en contacto con el agua) debe ser la de dicha parábola. $\diamond$

Método algebraico para equilibrar una reacción química. Un ejemplo sencillo

Consideremos la reacción que consiste en quemar metano, para producir dióxido de carbono y agua. Vamos a aplicar el álgebra lineal para calcular los coeficientes estequiométricos.

Escribamos la ecuación con los correspondientes coeficientes: $$a\,CH_4+b\,O_2 \rightarrow c\,CO_2+d\,H_{2}O$$ Por la ley de conservación de la materia/masa (Lavoisier-Lomonósov) —en un sistema aislado, en toda reacción química ordinaria, la masa total en el sistema permanece constante—, es decir, la masa total de los reactivos (lado izquierdo de la reacción) es igual a la masa total de los productos (lado derecho de la reacción). El número de átomos de carbono tiene que ser el mismo en ambos miembros de la ecuación, con lo cual $$a=c$$ Lo mismo ocurre con el número de átomos de hidrógeno: $$4a=2d$$ Y lo mismo con el número de átomos de oxígeno: $$2b=2c+d$$ lo que nos lleva a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}a=c\\ 4a=2d\\ 2b=2c+d\end{matrix}\right.$$ Y suponiendo $1$ molécula de metano como reactivo, $a:=1$, tenemos $$\left\{\begin{matrix}a=1\\a=c\\ 4a=2d\\ 2b=2c+d\end{matrix}\right.$$ luego $$\left\{\begin{matrix}a=c=1\\ 4=2d \Rightarrow d=2\\ 2b=2+2 \Rightarrow b=2\end{matrix}\right.$$ por consiguiente, la reacción se escribe de la forma $$CH_4+2\,O_2 \rightarrow CO_2+2\,H_{2}O$$ $\diamond$

Acerca de contestar las preguntas de un cierto test de manera aleatoria

Consideremos un experimento aleatorio consistente en contestar tres preguntas al azar. La primera consta de dos opciones; la segunda de tres, y la tercera de cuatro. Como cada pregunta se puede o bien acertar (A) o bien fallar (F) independientemente, es razonable construir el espacio muestral formado por las siguientes $2^3=8$ ternas (sucesos elementales):
$\Omega=\{(A_1,F_2,F_3),(F_1,A_2,F_3), (F_1,F_2,A_3), (A_1,A_2,A_3),$ $\quad \quad \quad (F_1,F_2,F_3), (A_1,A_2,F_3), (A_1,F_2,A_3), (F_1,A_2,A_3)\}$
Nos gustaría calcular el valor esperado del número de preguntas acertadas al realizar este experimento aleatorio, y ponderar así la posibilidad de que un alumno que realice dicho test contestando las preguntas al azar salga airoso de la prueba.

Para ello, definamos la variable aleatoria $X$ que da cuenta del número de aciertos: $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$, y cuyo soporte es $\{0,1,2,3\}$, ya que podemos acertar: cero, una, dos, o las tres preguntas.

Entonces, el valor esperado pedido es $$E[X]=0\cdot P(\{X=0\})+1\cdot P(\{X=1\})+2\cdot P(\{X=2\})+3\cdot P(\{X=3\}) \quad \quad \quad (1)$$ donde
$P(\{X=0\})=P((F_1,F_2,F_3))\overset{\text{sucesos independientes}}{=}(1-P(A_1))\cdot (1-P(A_2))\cdot (1-P(A_3))=$ $\quad = (1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{4})$
$\quad = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}$
$\quad =\dfrac{1}{4}$

$P(\{X=1\})=P((A_1,F_2,F_3) \cup (F_1,A_2,F_3) \cup (F_1,F_2,A_3))\overset{\text{sucesos incompatibles}}{=}$ $\quad =P((A_1,F_2,F_3))+ P((F_1,A_2,F_3)) + P((F_1,F_2,A_3))=$ $\quad \overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot (1-P(A_2)) \cdot (1-P(A_3))+ (1-P(A_1))\cdot P(A_2)\cdot (1-P(A_3))+$ $\quad \quad +(1-P(A_1))\cdot (1-P(A_2))\cdot P(A_3)$
$\quad =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4}$
$\quad =\dfrac{11}{24}$


$P(\{X=2\})=P((A_1,A_2,F_3) \cup (A_1,F_2,A_3) \cup (F_1,A_2,A_3))\overset{\text{sucesos incompatibles}}{=}$ $\quad =P((A_1,A_2,F_3))+ P((A_1,F_2,A_3)) + P((F_1,A_2,A_3))=$ $\quad \overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot P(A_2) \cdot (1-P(A_3))+ P(A_1)\cdot (1-P(A_2)) \cdot P(A_3)+$ $\quad \quad +(1-P(A_1))\cdot P(A_2)\cdot P(A_3)$
$\quad =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}$
$\quad =\dfrac{1}{4}$


$P(\{X=3\})=P((A_1,A_2,A_3))\overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot P(A_2) \cdot P(A_3)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{24}$

Con lo cual, de (1): $$E[X]=0\cdot \dfrac{1}{4}+1\cdot \dfrac{11}{24}+2\cdot \dfrac{1}{4}+3\cdot \dfrac{2}{3}\approx 0,67\,\text{número esperado (medio) de respuestas correctas}$$

Conclusión. Como $0,67 \lt \dfrac{0+3}{2}=1,5$, no se puede confiar en obtener un resultado favorable por parte del alumno si éste realiza esta prueba contestando las preguntas al azar. $\diamond$

Calculadoras científicas modernas: la calculadora Numworks

En breve expondré material de ayuda para el aprendizaje y uso de la calculadora científica Numworks, que encuentro especialmente útil para el aprendizaje del cálculo numérico, la estadística y el cálculo de probabilidades, a nivel de Bachillerato. Además es gráfica y es programable en lenguaje Python. Podéis probarla y utilizarla en vuestro ordenador con este emulador, y en su canal de vídeo podréis visionar muchos tutoriales para aprender a utilizarla con eficacia.

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