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miércoles, 31 de agosto de 2022

Otro ejercicio de integración de funciones definidas a trozos: integral definida de la función techo entre -1 y 2

Vamos a calcular la integral \displaystyle \int_{-2}^{1}\,\left \lceil x \right \rceil\,dx

donde \left \lceil x \right \rceil denota la función techo, que, para todo número real x, se define como \left \lceil x \right \rceil := \text{mínimo}(\{\ell\in \mathbb{Z}:\ell \ge x\}
>Así, por ejemplo, \left \lceil 2,7 \right \rceil=3; \left \lceil -4,6 \right \rceil=-4, etcétera.

De acuerdo pues con la definición de dicha función, podemos escribir: \displaystyle \int_{-2}^{1}\,\left \lceil x \right \rceil\,dx=\int_{-2}^{-1}\,(-1)\,dx+\int_{-1}^{0}\,0\,dx+\int_{0}^{1}\,1\,dx=-\left[x\right]_{-2}^{-1}+0\cdot \left[x\right]_{-1}^{0}+1\cdot \left[x\right]_{0}^{1}=

=-\left(-1-(-2)\right)+0+\left(1-0\right)=-(-1+2)+1=-1+1=0
\diamond

-oOo-

Nota: Aquí podéis ver la gráfica de la función y el detalle del significado de la integral definida calculada. Como véis, la primera contribución a la misma es negativa; la segunda es nula, y la tercera positiva. También he comprobado el resultado con la herramienta WolframAlpha, tecleando en la celda de entradas \text{integrate}(\text{ceiling},x,-2,1)

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