Integración de funciones racionales mediante la descomposición de la función integrando (racional) en suma de fracciones propias más sencillas. Un ejemplo

En este artículo vamos a resolver la integral indefinida

$$\displaystyle \int\,\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}\,dx$$

El polinomio denominador de la función del integrando puede factorizarse, y fácilmente se obtiene que

$$x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$$ Por lo que podemos intentar descomponer la función integrando $\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}$ de la forma $$\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1} \quad \quad (1)$$ con lo cual, la integral pedida se podrá escribir así: $$\displaystyle \int\,\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}\,dx=\int\,\dfrac{A}{x+1}\,dx+\int\,\dfrac{Bx+C}{x^2+1}\,dx$$ siendo las integrales del segundo miembro semi inmediatas.

Tendremos pues que calcular el valor de los coeficientes $A,B$ y $C$, reduciendo a común denominador la igualdad (1) se tiene que

$$\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}=\dfrac{A\cdot (x^2+1)}{x+1}+\dfrac{(Bx+C)(x+1)}{x^2+1} \leftrightarrow 1=(A+B)\,x^2+(B+C)\,x+(A+C)$$ De donde, igualando términos del mismo grado entre ambos miembros: $$\left\{\begin{matrix}A+B=0\\ B+C=0\\ A+C=1\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}A=\dfrac{1}{2}\\ B=-\dfrac{1}{2}\\ C=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

Por consiguiente,
$\displaystyle \int\,\dfrac{1}{x^3+x^2+x+1}\,dx=$
  $=\displaystyle \int\,\dfrac{\frac{1}{2}}{x+1}\,dx+\int\,\frac{-\dfrac{1}{2}\,x+\frac{1}{2}}{x^2+1}\,dx$
    $=\displaystyle \dfrac{1}{2}\int\,\dfrac{1}{x+1}\,dx-\dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{x-1}{x^2+1}\,dx$
      $\displaystyle \dfrac{1}{2}\int\,\dfrac{1}{x+1}\,dx-\dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{x}{x^2+1}\,dx+\dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{1}{x^2+1}\,dx$
        $\displaystyle =\dfrac{1}{2}\int\,\dfrac{1}{x+1}\,dx-\dfrac{1}{4}\,\int\,\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx+\dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{1}{x^2+1}\,dx$
          $\displaystyle =\dfrac{1}{2}\,\ln(|x+1|)-\dfrac{1}{4}\,\ln(x^2+1)+\dfrac{1}{2}\,\text{arctan}(x)+C$
$\diamond$