Acerca de contestar las preguntas de un cierto test de manera aleatoria

Consideremos un experimento aleatorio consistente en contestar tres preguntas al azar. La primera consta de dos opciones; la segunda de tres, y la tercera de cuatro. Como cada pregunta se puede o bien acertar (A) o bien fallar (F) independientemente, es razonable construir el espacio muestral formado por las siguientes $2^3=8$ ternas (sucesos elementales):
$\Omega=\{(A_1,F_2,F_3),(F_1,A_2,F_3), (F_1,F_2,A_3), (A_1,A_2,A_3),$ $\quad \quad \quad (F_1,F_2,F_3), (A_1,A_2,F_3), (A_1,F_2,A_3), (F_1,A_2,A_3)\}$
Nos gustaría calcular el valor esperado del número de preguntas acertadas al realizar este experimento aleatorio, y ponderar así la posibilidad de que un alumno que realice dicho test contestando las preguntas al azar salga airoso de la prueba.

Para ello, definamos la variable aleatoria $X$ que da cuenta del número de aciertos: $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$, y cuyo soporte es $\{0,1,2,3\}$, ya que podemos acertar: cero, una, dos, o las tres preguntas.

Entonces, el valor esperado pedido es $$E[X]=0\cdot P(\{X=0\})+1\cdot P(\{X=1\})+2\cdot P(\{X=2\})+3\cdot P(\{X=3\}) \quad \quad \quad (1)$$ donde
$P(\{X=0\})=P((F_1,F_2,F_3))\overset{\text{sucesos independientes}}{=}(1-P(A_1))\cdot (1-P(A_2))\cdot (1-P(A_3))=$ $\quad = (1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{4})$
$\quad = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}$
$\quad =\dfrac{1}{4}$

$P(\{X=1\})=P((A_1,F_2,F_3) \cup (F_1,A_2,F_3) \cup (F_1,F_2,A_3))\overset{\text{sucesos incompatibles}}{=}$ $\quad =P((A_1,F_2,F_3))+ P((F_1,A_2,F_3)) + P((F_1,F_2,A_3))=$ $\quad \overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot (1-P(A_2)) \cdot (1-P(A_3))+ (1-P(A_1))\cdot P(A_2)\cdot (1-P(A_3))+$ $\quad \quad +(1-P(A_1))\cdot (1-P(A_2))\cdot P(A_3)$
$\quad =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4}$
$\quad =\dfrac{11}{24}$


$P(\{X=2\})=P((A_1,A_2,F_3) \cup (A_1,F_2,A_3) \cup (F_1,A_2,A_3))\overset{\text{sucesos incompatibles}}{=}$ $\quad =P((A_1,A_2,F_3))+ P((A_1,F_2,A_3)) + P((F_1,A_2,A_3))=$ $\quad \overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot P(A_2) \cdot (1-P(A_3))+ P(A_1)\cdot (1-P(A_2)) \cdot P(A_3)+$ $\quad \quad +(1-P(A_1))\cdot P(A_2)\cdot P(A_3)$
$\quad =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}$
$\quad =\dfrac{1}{4}$


$P(\{X=3\})=P((A_1,A_2,A_3))\overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot P(A_2) \cdot P(A_3)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{24}$

Con lo cual, de (1): $$E[X]=0\cdot \dfrac{1}{4}+1\cdot \dfrac{11}{24}+2\cdot \dfrac{1}{4}+3\cdot \dfrac{2}{3}\approx 0,67\,\text{número esperado (medio) de respuestas correctas}$$

Conclusión. Como $0,67 \lt \dfrac{0+3}{2}=1,5$, no se puede confiar en obtener un resultado favorable por parte del alumno si éste realiza esta prueba contestando las preguntas al azar. $\diamond$