Uso de las identidades trigonométricas de descomposición de «productos en sumas» para el cálculo de algunas integrales indefinidas que se presten a ello

Recordemos las siguientes identidades —ya justificadas aquí—, que podemos utilizar para obtener las funciones primitivas de las funciones producto de coseno por seno, seno por seno, y coseno por coseno: $$\sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1)$$ $$\cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2)$$ $$\sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3)$$ $$\sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)$$

Veamos un ejemplo de cómo calcular fácilmente —con la ayuda de este tipo de identidades— la función primitiva del tipo de integrales indefinidas a la que me refiero: $$\displaystyle \int\,\sin(4x)\cdot \cos(2x)\,dx$$

Empleando (1), se tiene que $$\sin(4x)\cdot \cos(2x)=\dfrac{1}{2}\left(\,\sin(4x+2x)+\sin(4x-2x)\,\right)=\dfrac{1}{2}\left(\,\sin(6x)+\sin(2x)\,\right)$$ por lo tanto $$\displaystyle \int\,\sin(4x)\cdot \cos(2x)\,dx = \displaystyle \int \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(6x)+\sin(2x)\,\right)\,dx = \displaystyle \dfrac{1}{2}\, \int \left(\,\sin(6x)+\sin(2x)\,\right)\,dx=$$ $$= \displaystyle \dfrac{1}{2}\, \int \sin(6x)\,dx + \displaystyle \dfrac{1}{2}\, \int \sin(2x)\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{6}\,\cos(6x)+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\,\cos(2x)+C=\dfrac{1}{12}\,\cos(6x)+\dfrac{1}{4}\,\cos(2x)+C$$ $\diamond$