Vamos a calcular la integral $$\displaystyle \int_{-2}^{1}\,\left \lceil x \right \rceil\,dx$$ donde $\left \lceil x \right \rceil$ denota la función techo, que, para todo número real $x$, se define como $$\left \lceil x \right \rceil := \text{mínimo}(\{\ell\in \mathbb{Z}:\ell \ge x\}$$ >Así, por ejemplo, $\left \lceil 2,7 \right \rceil=3$; $\left \lceil -4,6 \right \rceil=-4$, etcétera.
De acuerdo pues con la definición de dicha función, podemos escribir: $$\displaystyle \int_{-2}^{1}\,\left \lceil x \right \rceil\,dx=\int_{-2}^{-1}\,(-1)\,dx+\int_{-1}^{0}\,0\,dx+\int_{0}^{1}\,1\,dx=-\left[x\right]_{-2}^{-1}+0\cdot \left[x\right]_{-1}^{0}+1\cdot \left[x\right]_{0}^{1}=$$ $$=-\left(-1-(-2)\right)+0+\left(1-0\right)=-(-1+2)+1=-1+1=0$$ $\diamond$
Nota: Aquí podéis ver la gráfica de la función y el detalle del significado de la integral definida calculada. Como véis, la primera contribución a la misma es negativa; la segunda es nula, y la tercera positiva. También he comprobado el resultado con la herramienta WolframAlpha, tecleando en la celda de entradas $$\text{integrate}(\text{ceiling},x,-2,1)$$
