Derivación de funciones que incluyen el valor absoluto. Un ejemplo

En este ejercicio de derivación vamos a calcular las funciones derivadas primera, segunda y tercera de la siguiente función real de una variable real

$$f(x)=x^2+|x^2-1|$$

Interpretando el significado del término que lleva el valor absoluto mediante la definición del mismo,

$$|x^2-1|=\left\{\begin{matrix}x^2-1 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in \{-1,1\}\\-(x^2-1) & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$ podemos escribir la función dada expresándola como una función definida a trozos, al objeto de analizar así fácilmente la continuidad y la derivabilidad de la misma: $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+(x^2-1) & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 1+0 & \text{si}& x\in \{-1,1\}\\x^2+ \left(-(x^2-1)\right) & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$ esto es $$f(x)=\left\{\begin{matrix}2x^2-1 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 1 & \text{si}& x\in [-1,1]\end{matrix}\right.$$

Esta función es continua para todos los valores de $x$ de su dominio de definición, que es $(-\infty,+\infty)$, es decir en toda la recta real, $\mathbb{R}$; sin embargo, no es derivable ni en $x=-1$ ni $x=1$, ya que en estos puntos las derivades laterales no tienen el mismo valor, ya que es bien fácil comprovar que $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=-2\neq \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=0$, y $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=0\neq \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=2$. En los demás puntos del dominio de continuidad (el conjunt de los números reales en el caso que nos ocupa) la función sí es derivable, y fácilmente —aplicando la regla de derivación de las funciones potenciales en los dos tramos de la función dada— se obtiene que

$$f'(x)=\left\{\begin{matrix}4x & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in [-1,1]\end{matrix}\right.$$

En esta figura (gráfica obtenida con GeoGebra) se muestra la función $f(x)$ en color verde, y la función derivada obtenida en color rojo:

La función derivada, $f'(x)$, cuyo dominio de definición es, también, toda la recta de los números reales, es discontinua en $x=-1$ y en $x=1$, luego para estos valores de $x$ no existe la derivada segunda, la cual se obtiene fácilmente aplicando la regla de la derivación potencial en los dos tramos de la función derivada primera:

$$f''(x)=(f'(x))'=\left\{\begin{matrix}4 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$

Al no estar definida la función derivada segunda en $x=-1$ y tampoco en $x=1$, la derivada tercera $f'''(x)$ no existe para dichos valores de $x$, y para el resto, aplicando la regla de derivación de las funciones constantes en los dos tramos de la función segunda derivada que:

$$f'''(x)=(f''(x))'=\left\{\begin{matrix}0 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$

$\diamond$