En este ejercicio de derivación vamos a calcular las funciones derivadas primera, segunda y tercera de la siguiente función real de una variable real f(x)=x^2+|x^2-1|
Interpretando el significado del término que lleva el valor absoluto mediante la definición del mismo, |x^2-1|=\left\{\begin{matrix}x^2-1 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in \{-1,1\}\\-(x^2-1) & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right. podemos escribir la función dada expresándola como una función definida a trozos, al objeto de analizar así fácilmente la continuidad y la derivabilidad de la misma: f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+(x^2-1) & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 1+0 & \text{si}& x\in \{-1,1\}\\x^2+ \left(-(x^2-1)\right) & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right. esto es f(x)=\left\{\begin{matrix}2x^2-1 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 1 & \text{si}& x\in [-1,1]\end{matrix}\right.
Esta función es continua para todos los valores de x de su dominio de definición, que es (-\infty,+\infty), es decir en toda la recta real, \mathbb{R}; sin embargo, no es derivable ni en x=-1 ni x=1, ya que en estos puntos las derivades laterales no tienen el mismo valor, ya que es bien fácil comprovar que \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=-2\neq \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=0, y \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=0\neq \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=2. En los demás puntos del dominio de continuidad (el conjunt de los números reales en el caso que nos ocupa) la función sí es derivable, y fácilmente —aplicando la regla de derivación de las funciones potenciales en los dos tramos de la función dada— se obtiene que f'(x)=\left\{\begin{matrix}4x & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in [-1,1]\end{matrix}\right.
En esta figura (gráfica obtenida con GeoGebra) se muestra la función f(x) en color verde, y la función derivada obtenida en color rojo:
La función derivada, f'(x), cuyo dominio de definición es, también, toda la recta de los números reales, es discontinua en x=-1 y en x=1, luego para estos valores de x no existe la derivada segunda, la cual se obtiene fácilmente aplicando la regla de la derivación potencial en los dos tramos de la función derivada primera: f''(x)=(f'(x))'=\left\{\begin{matrix}4 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.
Al no estar definida la función derivada segunda en x=-1 y tampoco en x=1, la derivada tercera f'''(x) no existe para dichos valores de x, y para el resto, aplicando la regla de derivación de las funciones constantes en los dos tramos de la función segunda derivada que: f'''(x)=(f''(x))'=\left\{\begin{matrix}0 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.
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