Espacio afín tridimensional

Un espacio afín es una terna $\mathcal{A}=(\mathcal{P},V,\Phi)$, donde $\mathcal{P}$ es el conjunto de puntos del espacio ordinario, $V$ es un espacio vectorial y $\Phi$ una aplicación de $\mathcal{P} \times \mathcal{P}$ en $V$ $$\Phi:\mathcal{P} \times \mathcal{P} \rightarrow V\,;\, (A,B) \mapsto \overset{\rightarrow}{AB}$$ tal que:
i) $\Phi(A,B)+\Phi(B,C)+\Phi(C,A)=\vec{0}$
ii) Fijado un punto $O \in \mathcal{A}$, entonces $\Phi_o:\mathcal{A}\rightarrow V\,;\,A \mapsto \Phi_{o}(A)=\overset{\rightarrow}{OA}$ es una biyección

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Si se toma un punto fijo $O$ de $\mathcal{A}$, y $\mathcal{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$ es una base de $V$, entonces $\{O\,;\,\mathcal{B}\}$ constituye un sistema de referencia afín, por medio del cual todo punto $P \in E$ queda unívocamente determinado por una terna ordenada $(x,y,z)$, que corresponde a las coordenadas del vector $\overset{\rightarrow}{OP}$ con respecto de la base $\mathcal{B}$, y nos referimos a ellas como coordenadas cartesianas del punto $P$, anotándolas de la forma $P(x,y,z)$ ( o, también, de la forma $P=(x,y,z)$); pudiendo por tanto escribir $\overset{\rightarrow}{OP}=x\,\vec{e_1}+y\,\vec{e_2}+z\,\vec{e_3}$. De manera parecida, si $(u_1,u_2,u_3)$ son las coordenadas de un vector $\vec{u}$ con respecto a la base $\mathcal{B}$, escribiremos $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$

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