Recta que pasa por un punto dado y que es perpendicular a dos planos que contienen sendas rectas dadas

ENUNCIADO. Las rectas $r\equiv (x,y,z)=(1,0,0)+\lambda\,(-1,1,0)$ y $s\equiv (x,y,z)=(1,1,0)+\mu\,(-1,-1,2)$ están en planos paralelos. Determínese la recta $t$ que es perpendicular a sendos planos y que contiene al punto $P(3,3,2)$.

SOLUCIÓN. Consideremos un vector en la dirección de $r$, $\vec{u}_r:=(-1,1,0)$, y un vector en la dirección de $s$, $\vec{u}_s:=(-1,-1,2)$. Teniendo en cuenta que $t$ es perpendicular a $r$, entonces un vector en la dirección de $t$, $\vec{u}_t$, ha de ser perpendicular a $\vec{u}_r$; y lo mismo ocurre con los vectores de la recta $s$: $\vec{u}_t$ ha de ser perpendicular a los mismos. Así pues, $\vec{u}_r \times \vec{u}_s$ es un vector en la dirección de $t$

Como $\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix}=(3,3,3) \propto (1,1,1)$, tomamos $\vec{u}_t:=(1,1,1)$. Y teniendo en cuenta que $P(3,3,2)$ está en $t$, ya podemos escribir la ecuación de la recta pedida $t$ en forma vectorial: $$t\equiv (x,y,z)=(3,3,2)+\alpha\,(1,1,1)$$

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Lugares geométricos en R^3. Plano mediador de un segmento dado

ENUNCIADO. Determínese la ecuación del plano mediador del segmento cuyos extremos son los puntos $A(1,-1,4)$ y $B(3,0,2)$

SOLUCIÓN. El plano mediador es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de $A$ y $B$, esto es $$\pi_{\text{mediador}}=\{X(x,y,z): \text{dist}(X,A)=\text{dist}(X,B)\}$$
Así pues, de la condición de igual distancia euclídea podemos escribir,
$$|\sqrt{(x-1)^2+(y-(-1))^2+(z-4)^2}|=|\sqrt{(x-3)^2+(y-0)^2+(z-2)^2}|$$ Elevando al cuadrado ambos miembros llegamos a
$$(x-1)^2+(y-(-1))^2+(z-4)^2=(x-3)^2+(y-0)^2+(z-2)^2$$ y desarrollando los binomios al cuadrado,
$$x^2-2x+1+y^2+2y+1+z^2-8z+16=x^2-6x+9+y^2+z^2-4z+4$$ Simplificando ( se anulan los términos de segundo grado ) y agrupando los términos semejantes de primer grado y los términos de grado cero, obtenemos la ecuación del plano pedida:$$ \pi_{\text{mediador}} \equiv 4x + 2y -4z+5=0$$
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Taller de cálculo simbólico (CAS) con MAXIMA

Hace un par de años organicé un taller de cálculo simbólico con MAXIMA, una herramienta muy útil para calcular y aprender matemáticas, que forma parte del software libre. Praparé la siguiente presentación para un curso de 1.º de Bachillerato, que espero que sea también de vuestro interés:

Lugares geométricos. Elipsoide

Proyección ortogonal de una recta sobre un plano. Espacio euclídeo R^3.

Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan ( espacio euclídeo R^3 )

Algunos problemas básicos en el espacio euclídeo R^3 que hay que saber resolver

• Determinación de una recta, dado un punto de la misma y un vector en la misma dirección que dicha recta
  
• Determinación de una recta, dados dos puntos de la misma
  
• Saber expresar la ecuación de una recta en todas sus formas: vectorial, continua, paramétrica, y mediante sus ecuaciones cartesianas ( implícitas )
  
• Determinación de un plano, dados tres puntos del mismo
  
• Determinación de un plano, dados un punto del mismo y dos vectores contenidos en dicho plano
  
• Determinación de un plano, conocido un punto de éste y dado un vector perpendicular a dicho plano
  
• Saber expresar la ecuación de un plano en todas formas: vectorial, paremétrica, y general ( implícita )
  
• Determinación de la recta perpendicular a un cierto plano y que ha de pasar por un cierto punto
  
• Determinación de la recta perpendicular a una recta dada y que ha de pasar por un cierto punto
  
• Investigación de la incidencia entre: a) dos rectas, b) dos planos, c) una recta y un plano
  
• Distancia entre dos rectas que se cruzan
  
• Distancia entre una recta y un punto exterior a ella
  
• Distancia entre un plano y un punto exterior a dicho plano
  
• Distancia entre dos planos paralelos no coincidentes
  
• Ángulo entre dos rectas no paralelas
  
• Área de un paralelogramo
  
• Volumen de un paralelepípedo
  
• Ángulo entre dos planos secantes
  
• Punto simétrico de un punto dado con respecto a una cierta recta
  
• Punto simétrico de un punto dado con respecto a un cierto plano
  
• Proyección ortogonal de una recta sobre un plano
  
• Recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan
  
• Plano que contiene a un punto dado, perteneciendo dicho plano a un haz de planos que tienen por arista común una recta dada
  
• Plano que contiene a un punto dado, perteneciendo dicho plano a un cierto haz de planos paralelos
  
• Plano mediador de un segmento ( lugar geométrico )
  
• Plano bisector de dos planos que se cortan ( lugar geométrico )
  
• Ecuación de la superficie de una esfera de centro y radio dados ( lugar geométrico )
  
• Saber deducir el radio y el centro de la ecuación de una esfera en su forma desarrollada: $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$, así como expresar a partir de ésta la ecuación en forma centro-radio: $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=R^2$
  
• Plano tangente a una esfera en un cierto punto de la misma
  
• Investigación de la incidencia entre una esfera y un plano
  
• Radio de la circunferencia que resulta de la intersección de un plano y una esfera ( cuando el plano corta a la esfera )
  
• Saber manejar las ecuaciones de otras superficies ( de revolución ) y entender cómo se deducen: paraboloides, hiperboloides y elipsoides ( lugar geométrico )
  

Determinación de un plano a partir de tres puntos dados del mismo que no estén alineados

Dados tres puntos de un plano $\pi$, $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ y $C(x_C,y_C,z_C)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial afín $\mathbb{R}^3$, nos proponemos describir dicho plano de forma algebraica, esto es, deseamos encontrar, de diversas maneras, unas ecuaciones que lo representen.

Siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas, y $P(x,y,z)$ un punto cualquiera de dicho plano $\pi$, se cumple que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AP} $     (1), y teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}$ se puede expresar como combinación lineal de $\overset{\rightarrow}{AB}$ y $\overset{\rightarrow}{AC}$ ya que estos dos vectores son linealmente independientes al no estar alineados los puntos $A,B$ y $C$; existirán pues dos escalares, $\lambda$ y $\mu$, tales que $\overset{\rightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$, y, por consiguiente, podemos escribir (1) de la forma $$\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$$, que es una ecuación vectorial del plano, y también podemos expresar de la forma
$(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+\lambda\,(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})+$
      $+\mu\,(x_{C}-x_{A},y_{C}-y_{A},z_{C}-z_{A})$

Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares a las que denominaremos ecuaciones paramétricas de $\pi$, puesto que dependen de los parámetro, $\lambda$ y $\mu$: $$\left.\begin{matrix}x=x_A+\lambda\,(x_{B}-x_{A})+\mu\,(x_{C}-x_{A}) \\ y=y_A+\lambda\,(y_{B}-y_{A})+\mu\,(y_{C}-y_{A})\\ z=z_A+\lambda\,(z_{B}-z_{A})+\mu\,(z_{C}-z_{A})\end{matrix}\right\} \quad \quad (2)$$.

El conjunto de estas tres ecuaciones (2) determinan los parámetros $\lambda$ y $\mu$, una vez fijado el punto $P$, luego bien podemos expresarlo de la forma
$$\left.\begin{matrix}(x_{B}-x_{A})\,\lambda+(x_{C}-x_{A})\,\mu = x-x_A \\ (y_{B}-y_{A})\,\lambda+(y_{C}-y_{A})\,\mu = x-x_A = y-y_A \\ (z_{B}-z_{A})\,\lambda+(z_{C}-z_{A})\,\mu = x-x_A = z-z_A \end{matrix}\right\}$$
el cual ha tener rango igual a $2$, ya que sólo pueden haber dos ecuaciones linealmente independientes; por consiguiente, la matriz ampliada de los coeficientes del sistema $$\left(\begin{array}{cc|c} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{array}\right)$$ ha de tener rango igual a $2$ ( igual que la matriz de los coeficientes ), luego el único menor complementario de orden $3$ ha de ser nulo, luego podemos escribir que

$$\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{vmatrix}=0$$

De donde obtenemos una ecuación de tres incógnitas con una variable principal y dos variables secundarias, que también determina el plano $\pi$, y a las que denominamos ecuación cartesiana ( o implícita, o general ) de dicho plano, de la forma $$a\,x+b\,y+c\,z+d=0$$

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Determinación de una recta en el espacio vectorial afín R^3, dados dos puntos de la misma

Dados dos puntos de una recta $r$, $A(x_A,y_A,z_A)$ y $B(x_B,y_B,z_B)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial afín $\mathbb{R}^3$, nos proponemos describir dicha recta de forma algebraica, esto es, encontrar de diversas maneras, unas ecuaciones que la representen.

Siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas, y $P(x,y,z)$ un punto cualquiera de la recta $r$, se cumple que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AP} $     (1), y teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP} \propto \overset{\rightarrow}{AB}$ -- ambos vectores tienen la misma dirección, luego son dependientes uno del otro --, existirá un escalar $\lambda$ tal que $\overset{\rightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}$, y, por consiguiente, podemos escribir (1) de la forma $$\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}$$ que es una ecuación vectorial de la recta, que, también podemos expresar de la forma $$(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+\lambda\,(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})$$ Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares a las que denominaremos ecuaciones paramétricas de $r$, puesto que dependen de un parámetro, $\lambda$: $$\left.\begin{matrix}x=x_A+\lambda\,(x_{B}-x_{A}) \\ y=y_A+\lambda\,(y_{B}-y_{A})\\ z=z_A+\lambda\,(z_{B}-z_{A})\end{matrix}\right\} \quad \quad (2)$$ Despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de las tres ecuaciones anteriores, los segundos miembros deberán ser iguales, llegando así a una ecuación de la recta en forma continua $$r\equiv \dfrac{x-x_A}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{y-y_A}{y_{B}-y_{A}}=\dfrac{z-z_A}{z_{B}-z_{A}} \quad \quad(3)$$

El conjunto de estas tres ecuaciones (2) determina el parámetro $\lambda$, una vez fijado el punto $P$, luego bien podemos expresarlo de la forma
$$\left.\begin{matrix}(x_{B}-x_{A})\,\lambda = x-x_A \\ (y_{B}-y_{A})\,\lambda = y-y_A \\ (z_{B}-z_{A})\,\lambda = z-z_A \end{matrix}\right\}$$
el cual ha tener rango igual a $1$, ya que sólo puede haber una ecuación linealmente independiente; por consiguiente, la matriz ampliada de los coeficientes del sistema $$\left(\begin{array}{c|c} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z-z_A \end{array}\right)$$ ha de tener rango igual a $1$ ( igual que la matriz de los coeficientes ), luego los menores complementarios han de ser nulos, así que del orlado de la matriz a partir de algún elemento no nulo de la primera columna, pongamos, sin pérdida de generalidad, que el de la primera fila y primera columna, podemos escribir que

$$\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y-y_A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ z_{B}-z_{A} & z-z_A \end{vmatrix}=0$$

De donde obtenemos un sistema de dos ecuaciones linealmente independientes, que también determinan la recta $r$, y a las que denominamos ecuaciones cartesianas ( o implícitas ) de dicha recta $$r\equiv \left\{\begin{matrix}(x_B-x_A)(y-y_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0 \\ (x_B-x_A)(z-z_A)-(z_B-z_A)(x-x_A)=0 \end{matrix}\right. \quad \quad (4)$$ Estas dos ecuaciones han de corresponder a las de dos planos cuya intersección es precisamente la recta $r$.

Nota: Démonos cuenta de que estas mismas ecuaciones podemos escribirlas a partir de la doble igualdad de la ecuación de la recta en forma continua (3); y, ciertamente, podríamos escribir una tercera ecuación -- de igual manera que obtendríamos de igualar a cero el tercer menor complementario que se extrae de la matriz ampliada de los coeficientes --, $(y_B-y_A)(y-y_A)-(z_B-z_A)(z-z_A)=0$, pero ésta es una combinación lineal de las otras dos, y, por tanto aporta información redundante, pudiendo prescindir de ella. $\square$

Construcción de una base ortonormal ( que no sea la base canónica ), a partir de dos vectores dados

Se expone en esta grabación un ejercicio de vectores en R^3 en el que, dados dos vectores, se dan dos condiciones para hallar un conjunto de vectores que deben cumplir dos condiciones en relación con los datos, y, para hallarlos, utilizaremos el producto escalar y el producto mixto.

Un ejercicios de análisis de un sistema de ecuaciones lineales, en función de los valores de un parámetro, y resolución para determinados valores del mismo para los cuales el sistema es compatible

Ejemplo de resolución de una ecuación con matrices

Construcción de una base ortonormal del espacio vectorial R^3, distinta de la base canónica

Ángulos que forma un vector u, y su proyección sobre el plano Oxy, con los vectores de la base canónica

NOTA: $\vec{u'}$ es el vector proyección de $\vec{u}=(1,2,5)$ sobre el plano Oxy y por tanto sus coordenadas son $(u_x,u_y,0)$, esto es, $\vec{u'}=(1,2,0)$