Resolución de ecuaciones trascendentes con MAXIMA

MAXIMA permite encontrar la solución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales (e. trascendentes) haciendo uso de la instrucción solve ( igual que en el caso de las ecuaciones algebraicas ). Vamos a mostrar aquí algunos ejemplos muy sencillos.

Ejemplo 1:

Sea la ecuación $\ln{(2+x)}=3$
Para obtener la solución con MAXIMA, editamos la ecuación en la linea de entrada, tecleando:
          (%i1) solve(log(2+x)=3,x);
y MAXIMA responde:
          (%o1) [x=%e^3-2]
es decir, la solución es
$x=e^3-2$

Ejemplo 2:

Consideremos la ecuación $2^x=5$
Tecleamos:
          (%i2) solve(2^x=5,x);
y la respuesta de MAXIMA es:
          (%o2)
                    $\left[ x={{\log 5}\over{\log 2}} \right]$
por tanto
$x=\dfrac{\ln{5}}{\ln{2}}$

Nota:   Recordemos que para obtener la expresión decimal aproximada ( con una precisión estándar de 16 cifras significativas ) debemos hacer uso de la instrucción
          (%i3) %o2,numer;
obteniendo
          (%o3) 2.321928094887362

Ejemplo 3:

Sea la ecuación $7^{x^2+1}=1$
La editamos en la linea de entrada:
          (%i4) solve(7^(x^2+1)=1,x);
I MAXIMA responde:
          (%o4) $\left[ x=-i , x=i \right]$
es decir
$x=\pm \, i \in \mathbb{C}$
Com puede verse, en este caso, la solución pertenece al cuerpo de los números complejos.
$\square$

[nota del autor]

Hallar la ecuación implícita (o general) de un plano que pasa por tres puntos

Enunciado:
Consideremos el espacio afín formado por espacio vectorial estándar $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ sobre el cuerpo de los números reales $\mathbb{R}$ con el siguiente sistema de referencia:
    i) El origen de coordenadas situado en el punto $O(0,0,0)$
    ii)La base $\mathcal{C}$ del espacio vectorial $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ es la formada por los vectores
            $\mathcal{C}=\{e_1=(1,0,0)\,,\,e_2=(0,1,0)\,,\,e_3=(0,0,1)\}$
                ( que es la base estándar o canónica).
Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por los siguientes puntos:
              $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ y $R(0,0,1)$

Solución:
Antes de empezar, recordemos que la ecuación del plano $\pi$ en forma implícita viene dada por
    $\pi:\, A\,x+B\,y+C\,z+D=0$
siendo nuestro objetivo determinar los valores de los coeficientes $A$, $B$, $C$ y $D$. Esto se hará de la siguiente manera.

Al pertenecer los puntos
    $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ i $R(x_R,y_R,z_R)$
a dicho plano, podemos afirmar que los vectores
    $u_1=(P_x-Q_x,P_y-Q_y,P_z-Q_z)$
    $u_2=(P_x-R_x,P_y-R_y,P_z-R_z)$
pertenecen a dicho plano y son linealmente independientes.
Como la dimensión de dicho plano $\pi$, como subespacio vectorial ( o variedad lineal ) es $2$, cualquier otro vector del plano
se podrá expresar como una combinación lineal de estos dos, es decir, estos dos vectores, $v_1$ y $v_2$, constituyen una base del plano.
Por tanto, siendo $(x,y,z)$ las coordenadas de un punto arbitrario del plano, el conjunto de vectores
    $\{(P_x-x,P_y-y,P_z-z), u_1, u_2\}$ tiene rango igual a $2$, luego el siguiente determinante es nulo
    $\begin{vmatrix} P_x-x& P_y - y &P_z - z \\ P_x-Q_x& P_y - Q_y &P_z - Q_z \\ P_x-R_x& P_y - R_y &P_z - R_z \end{vmatrix}$

Con las coordenadas de los puntos dados queda,
    $\begin{vmatrix} 1-x& 0 - y &0 - z \\ 1-0& 0 - 1 &0 - 0 \\ 1-0& 0 - 0 &0 - 1 \end{vmatrix}=0$

Y, resolviendo el determinante, encontramos la ecuación del plano $\pi_{PQZ}$ en forma implícita
    $\pi_{PQZ}:\,x+y+z-1=0$

Por tanto, los valores de los coeficientes de la ecuación implícita son:
    $A=B=C=1$ y $D=-1$
$\square$

Nota 1:   Se demuestra que otra forma de expresar esto es
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ x_P&y_P &z_P &1 \\ x_Q&y_Q &z_Q &1 \\ x_R&y_R &z_R &1 \end{vmatrix}=0$
que, en el caso que nos ocupa, se concreta así
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=0$
Calculamos este determinante de orden $4$ desarrollando por los adjuntos de la primera columna
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=x\,\begin{vmatrix} 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y&z &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}=x-(1-y-z)$
                                                                              $=x+y+z-1$

Nota 2:   Observemos que al proyectar este plano sobre los planos coordenados $Oxy$ ( imponiendo $z=0$ ), $Oyz$ ( haciendo $x=0$ ) i $Oxz$ ( con $y=0$ ) obtenemos las correspondientes rectas:
    $x+y=1$, es decir, la recta $y=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxy$ )
    $z+y=1$, es decir, la recta $z=-y+1$ ( proyectando en el plano $Oyz$ )
    $x+z=1$, es decir, la recta $z=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxz$ )
Estas rectas formen ángulos de $45^{\circ}$ con los ejes respectivos.

[nota del autor]

La suma de tres números naturales es $330$ y sabemos que uno de ellos es el doble de otro y que éste es el triple del tercero. Encontrar estos números.

Enunciado:
La suma de tres números naturales es $330$ y sabemos que uno de ellos es el doble de otro y que éste es el triple del tercero. Encontrar estos números.

Solución:
Lo que se nos dice en el enunciado nos lleva a escribirlo en forma de un sistema de ecuaciones
      $\left.\begin{matrix} x + y + z = 330\\ x = 2y \\ y=3z \end{matrix}\right\}$
Sustituyendo la expresión de $y$ de la tercera ecuación en la segunda obtenemos
      $x=6z$
y, a su vez, sustituyendo ambas en la primera, llegamos a
      $6z+3z+z=330$
y, de ahí, determinamos el valor de $z$, que es $33$
Y, conocido el valor de la incógnita $z$, solo nos queda sustituir en las ecuaciones segunda y tercera para encontrar los valores de las incógnitas restantes, $x$ e $y$, que son
    $y=99$   y   $x=198$
$\square$

[nota del autor]

Calcular $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$

Enunciado:
Calcular
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$

Solución:
La función integrando es una función racional impropia
que vamos a descomponer en forma mixta efectuando la división $(x^3+x-1) \div (x^2-1)$
Vemos que el polinomio cociente es igual a $x$, y que el polinomio residuo es $2\,x+1$
y por el teorema de la división, podemos escribir
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}=x+\dfrac{2\,x+1}{x^2-1}$
De ahí, la integral dada se puede poner de la forma
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}=\int{\bigg( x + \dfrac{2\,x+1}{x^2-1}\bigg)\,dx}$
            $= \displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{x^2-1}\,dx}$
y teniendo en cuenta que podemos factorizar el polinomio del denominador del tercer término: $x^2-1=(x-1)\,(x+1)$
escribiremos
                $\dfrac{1}{x^2-1}$
como la suma de dos fracciones algebraicas
                $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}$
Entonces, la integral pedida
    $\displaystyle \int \dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx$
es igual a la siguiente suma de integrales ( más sencillas ):
    $\displaystyle \int x \,dx+\int \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx+\int \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}\,dx-\int \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}\,dx$
las cuales, integradas y sumadas, conducen a
    $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x-1\right|}-\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x+1\right|}+C$
        $=\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}+C$
donde $C$, por ser la constante de integración, puede ser cualquier número real.
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}$

Solución:
La función integrando
    $f(x)=\dfrac{1}{x^2+x}$
es una función racional, que, habiéndo factoritzado su denominador, puede escribirse de la forma
    $\dfrac{1}{x\,(x+1)}$
y es, por tanto, del tipus
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}$
luego se puede expresar como una suma de fraccions
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{m}{x+a}+\dfrac{n}{x+b}$
Reduciendo a común denominador la expresión del segundo miembro, llegamos a
    $\dfrac{m\,(x+b)+n\,(x+a)}{(x+a)(x+b)}$
y, operando el numerador, nos queda
    $\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
es decir
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
igualando, ahora, los coeficients de los términos del mismo grado entre ambos miembros de la igualdad, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
    $\left.\begin{matrix} m\,b &+&n\,a&=&1 \\ m & +&n&=&0 \end{matrix}\right\}$
y, resolviéndolo, vemos que
    $m=\dfrac{1}{b-a}$
i
    $n=\dfrac{1}{a-b}$

En nuestro caso, tenemos que $b=0$ i $a=1$, por lo que encontramos la solución: $m=1$ y $n=-1$
Entonces
    $\dfrac{1}{x\,(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$
y podremos escribir
    $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx-\int \dfrac{1}{x+1}\,dx$
cualculando las integrales inmediatas
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|x\right|}-\ln{\left|x+1\right|}+C$
que, por las propiedades de los logaritmos, también podemos expresar así
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$

Nota:   $C$, que puede ser cualquier número real, representa la constante de integración, o constante de la familia de funciones primitivas de la función del del integrando
    $F(x)=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$
$\square$

[nota del autor]

Ciencia, matemática y filosofía

UNED - Timeo - 01/03/13

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  UNED - Timeo - 01/03/13

Dada las funciones $y=9-x^2$ y $y=2x+1$ se pide: a) Dibujar las gráficas de las dos funciones, identificando el recinto acotado por ambas. b) Calcular el área de dicho recinto acotado c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje de abscisas el recinto acotado de la gráfica de $y=9-x^2$ y el propio eje de abscisas.

Enunciado:
Dada las funciones $y=9-x^2$ y $y=2x+1$ se pide:
a) Dibujar las gráficas de las dos funciones, identificando el recinto acotado por ambas.
b) Calcular el área de dicho recinto acotado
c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje de abscisas el recinto acotado de la gráfica de $y=9-x^2$ y el propio eje de abscisas.

Resolución:

Obtenemos las coordenadas de los puntos de intersección A i B resolviendo el sistema de ecuaciones

$\left. \begin{matrix} 9-x^2=y\\ 2x+1=y\\ \end{matrix}\right\}$

obteniendo como solución

$A(-4,-7)$

$B(2,5)$

El área del recinto acotado és igual a

$\displaystyle \left|\int_{-4}^{2}\,\big( (9-x^2)-(2x+1)\big)\,dx \right| = \ldots = 36 \quad \text{unidades de \'area}$

Abordemos, ahora, la última parte del problema. El recinto acotado entre la parábola y el eje de abscisas genera, al girarlo alrededor de dicho eje, un cuerpo de revolución. Calcularemos su volumen teniendo en cuenta la simetria de dicho cuerpo.

Considerando el disco de radio $r(h)$ y de grosor $dh$ podemos sumar dichos infintos elementos diferencials de volumen de manera continua calculando la integral

$V=\int_{D}\,\pi\,\big(r(h)\big)^2\,dh$

puesto que $r$ representa la ordenada de un punto del recinto $9-x^2$; el grosor de dicho disco es la cantidad diferencial $dx$, y que los límites de integración (del recinto) són las abscisas de los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas

$9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3$

podemos concretar el cálculo así

$\displaystyle V=\int_{-3}^{3}\,\pi\,\big(9-x^2)^2\,dx = \ldots = \dfrac{1296}{5}\, \pi \quad \text{unidades de volumen}$

$\square$

[nota del autor]