Cálculo de integrales indefinidas. Cálculo de primitivas.

[nota del autor]

Cálculo de primitivas

ENUNCIADO:
Calcular la integral indefinida $$\int x\,e^{x^2}\,dx$$

SOLUCIÓN:
Haciendo el cambio de variable $e^{x^2}=t$, $$dt=\left( e^{x^2} \right)' \,dx$$
es decir
$$dt=2x\,e^{x^2} \,dx$$
Así, $$\int x\,e^{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\int dt=\dfrac{1}{2}\,t+k=\dfrac{1}{2}\, e^{x^2}+C$$

Comentario:
Otra forma, más directa, de resolverlo es poner la función del integrando bajo el signo diferencial:
$$\int x\,e^{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\int d\left( e^{x^2} \right)=\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}+C$$

$\square$

[nota del autor]

El problema de los aniversarios

Enunciado: El problema de los aniversarios
Cierto número $n$ de personas se encuentran reunidas en una sala de fiestas. El animador escoge a una de ellas y le pregunta si cree muy probable que entre los presentes haya por lo menos dos personas que cumplan años el mismo día del año. ¿ Si fuese usted el espectador al que se le pregunta qué respondería ?

Solución:
Muchas personas tienden a dar una probabilidad muy pequeña como respuesta a dicha pregunta, pues engañados por su intuición, les parece que así debería ser, lo cual es un error. Resolvamos el problema, que, por cierto, fue popularizado a raiz de la publicación de un trabajo de Zoe Emiliy Schnabel, en 1938, en el American Mathematical Monthly que trataba sobre un problema de estimación: [ The Estimation of Total Fish Population of a Lake ].

Por la propiedad del contrario se cumple que P("por lo menos dos personas de entre un número n de personas reunidas coincidan en la fecha de su aniversario") = 1-P("no haya ninguna coincidencia). Veamos un ejemplo, suponiendo que el número de personas en la sala es $25$ y que partiendo del supuesto de que las fechas de nacimiento de cada una de ellas son independientes ( esto es, no hay mellizos o gemelos, y no se da ninguna circunstancia que invalide dicha independencia ), entonces, como la probabilidad que no haya ninguna coincidencia es $$\dfrac{365}{365}\cdot \dfrac{364}{365} \cdot \dfrac{363}{365} \cdot \ldots \cdot \dfrac{365-25+1}{365}$$
la probabilidad de que al menos haya una coincidencia es
$$1-\dfrac{365}{365}\cdot \dfrac{364}{365} \cdot \dfrac{363}{365} \cdot \ldots \cdot \dfrac{365-25+1}{365} \approx 0,57$$
que es más del $50\,\%$, en contra de la intuición por la que, en un principio, sin reflexionar demasiado, uno podría dejarse llevar a la hora de responder; evidentemente, para encontrar por lo menos dos personas que cumplan años el mismo día del año, de forma segura (probabilidad igual a $1$, esto es del $100\,\%$ ), debería haber en la sala un mínimo de $365+1$ personas, de acuerdo con el principio de recuento del palomar o de las cajas de Dirichlet, lo cual es ciertamente correcto, pero de lo que se trata es de calcular la probabilidad para el caso en que $n \le 365$, que es lo interesante. Vamos a arrojar un poco de luz sobre este asunto.

Podemos expresar el cálculo que hemos realizado de manera adecuada, para poder hacer algunos cálculos que nos permitan acabar de esclarecer qué es lo que realmente se obtiene para un número arbitrario de personas, $n$: $$P(\text{al menos dos personas coincidan en su aniversario})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-n+1}^{365}\,i}{365^n} $$

Comprobemos, primero, que la probabilidad de que al menos dos coincidan en la fecha de su aniversario para un número pequeño de personas es -- tal como nos podría parecer sin hacer ningún cálculo -- pequeña; en efecto, si en la sala sólo hay dos personas, se obtiene una probabilidad muy pequeña, como debe ser:
$$\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-2+1}^{365}\,i}{365^2} = 0,00274 \approx 0,27 \,\%$$
En este caso, podemos hacer un cálculo más sencillo, razonando de la siguiente manera: si sólo hay dos personas en la sala, habiendo seleccionado una, la probabilidad que la otra cumpla años el mismo día que los cumple la primera es, por el principio de Laplace, igual a $\dfrac{1}{365}$, que es igual, evidentemente al
resultado que se obtiene a partir de la fórmula deducida para el caso general, esto es, $0,00274$.

Hemos visto antes que, para $n=25$ la probabilidad es ya mucho mayor, lo cual debería habernos causado ya una cierta sorpresa. Veamos qué ocurre para $n=30$
$$P(\text{al menos dos personas coincidan})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-30+1}^{365}\,i}{365^{30}} \approx 71\,\%$$
y para $n=40$:
$$P(\text{al menos dos personas coincidan})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-40+1}^{365}\,i}{365^{40}} \approx 90\,\%$$
Así que, para valores de $n$ "no muy grandes" ( una sala de fiestas tiene un aforo mucho mayor que $40$, que es el valor para el que acabamos de ver que la probabilidad es ya muy alta ) enseguida rozamos el $99\,\%$ de probabilidad; en efecto, para $n=55$ obtenemos
$$P(\text{al menos dos personas coincidan})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-55+1}^{365}\,i}{365^{55}} \approx 99\,\%$$
por lo que la persona a la cual preguntaba el animador podría responder a su pregunta dando una probabilidad superior al $99\,\%$ para un número de personas superior a $55$.

En resumen, la probabilidad de que se den muchas coincidencias es mucho más alta de lo que, aparentemente, nos pueda parecer; el problema del aniversario es un ejemplo de ello y se inspiró en su en las conclusiones a las que llegó Zoe Emily Schnabel en su trabajo sobre estimación de la población de peces en un lago, que fue, en su momento, un hallazgo muy importante en estadística aplicada a la ecología.

-oOo-Observaciones:
Los cálculos, que son demasiado costosos para hacerlos con una calculadora científica básica, se han realizado con una calculadora TI Voyage 200 ( alternativamente, con MAXIMA ).

-oOo-
Comentarios:

(1) Pero, cuidado, el animador, habiendo dado respuesta a su pregunta, podría hacer otra más, aparentemente muy parecida, pero muy distinta a la que ya hemos dado respuesta:
  "-- Entonces, ¿ cree usted ( refiriéndose a una determinada persona ) que la probabilidad de encontrar en la sala exactamente una persona que cumpla años el mismo día que usted, ronda ese valor tan alto, como ha dicho antes ? ( en la sala hay $55$ personas, incluido usted )

Cabe, ahora, no caer en la respuesta fácil de contestar afirmativamente -- lo cual , aparentemente, se seguiría de la respuesta a la primera pregunta --, pues sería un error: la pregunta que se hace ahora no es la misma. Fijémonos en el hecho de que al preguntar a una persona, fijamos como dato su fecha de nacimiento lo cual no hacíamos al responder a la primera pregunta, y esto, claro, hace que la probabilidad pedida ahora sea mucho menor. Hagamos el cálculo para darnos cuenta de ello; en este caso debemos entender este segundo problema como un problema de distribución binomial de una variable aleatoria $X$ ( número de personas de la cuyo aniversario coincide con el de una de ellas, a la que se le hace la pregunta ), y, por tanto, los valores que puede tomar son $\{0,1,2,\ldots,54\}$ ( lógicamente, debemos descontar del total a la persona preguntada ). Entonces, por la función de cuantía de dicha distribución de probabilidad sabemos que $\displaystyle P\{X=i\}=\binom{n}{i}\,p^{i}\,(1-p)^{n-i}$, donde $i \le n$

Así, pues, la respuesta a la pregunta vendrá dada por
$\displaystyle P\{X=1\}=\binom{54}{1}\,(\dfrac{1}{365})^{1}\,(1-\dfrac{1}{365})^{54-1} \approx 13\,\%$, que evidentemente es más bien, pequeña. Fijémonos que ésto no contradice lo encontrado antes, pues la pregunta es distinta ahora, por referirse a una persona en concreto (a la persona preguntada), cuyo aniversario pueda coincidir con alguna de las otras personas de la sala.

(2) Incluso si la pregunta hubiese sido
  "-- ¿ cree usted que la probabilidad de encontrar alguna de las otras personas del público que cumpla años el mismo día que usted, es tan alta como ha dicho antes ? ( en la sala hay $55$ personas, incluido usted )
la probabilidad que se encuentra es bastante pequeña; en efecto
$\displaystyle P\{X \le 54\}=P\sum_{i=1}^{54}\,P\{X=i\}=\sum_{i=1}^{54}\,\binom{54}{i}\,(\dfrac{1}{365})^{i}\,(1-\dfrac{1}{365})^{54-i} \approx 14\,\%$

$\square$

[nota del autor]

Dados los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$ encontrar el punto $R$ de la recta $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$ que cumpla que el triángulo $\triangle{PQR}$ sea isósceles, siendo $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ los lados de igual longitud.

Enunciado:
Dados los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$
    $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$
encontrar el punto $R$ de la recta
    $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$
que cumpla que el triángulo $\triangle{PQR}$ sea isósceles, siendo $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ los lados de igual longitud.

Solución:
Las componentes de un vector director de $r$ - recordemos que las coordenadas de un vector, expresado éste respecto a la base canónica, suelen ser designadas como componentes del mismo - vienen dados por los denominadores de la ecuación en forma continua de la recta, por tanto
    $\vec{u}=(2,3,-1)$
Si el triángulo $\triangle{PQR}$ es isósceles y los lados iguales son $\overline{PR}$ y $\overline{QR}$ deberá cumplirse
    $\angle ( \vec{u},\vec{RP} )=\pi-\angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \Rightarrow \cos \big( \angle ( \vec{u},\vec{RP} ) \big)=-\cos \big ( \angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \big)$
luego, según la definición del producto escalar euclídeo,
    $\dfrac{[\vec{u},\vec{RP}]}{||\vec{u}||\,||\vec{RP}||}=-\dfrac{[\vec{u},\vec{RQ}]}{||\vec{u}||\,||\vec{RQ}||}$
y como
    $||\vec{RP}||=||\vec{RQ}||$
podemos escrbir
    $\left \langle \vec{u},\vec{RP} \right \rangle=- \left \langle \vec{u},\vec{RQ} \right \rangle\quad \quad \quad (*)$
    ====
    Nota:
        $\left \langle.\;,\;.\right \rangle$ denota el producto escalar usual ( expresando los vectores respecto de la base canónica ), es decir, $\left \langle v,w \right \rangle=v_{x}\,w_{x}+v_{y}\,w_{y}+v_{z}\,w_{z}$
    ====
de aquí, si $R(x_R,y_R,z_R)$ y teniendo en cuenta los vectores de posición y su relación vectorial
    $\vec{RP}=\vec{OP}-\vec{OR}$ i $\vec{RQ}=\vec{OQ}-\vec{OR}$
podemos escribir:
    $\vec{RP}=(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)$
y
    $\vec{RQ}=(-1-x_R,2-y_R,3-z_R)$

calculando, ahora, el valor del producto escalar de ambos miembros de (*), llegamos a:
    $\left \langle\vec{u},\vec{RP} \right \rangle=\left \langle(2,3,-1),(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)\right \rangle$
          $=2\,(1-x_R)-3\,y_R+(1+z_R)$

    $\left \langle\vec{u},\vec{RQ}\right \rangle=\left \langle(2,3,-1),(-1-x_R,2-y_R,3-z_R) \right \rangle$
          $=-2\,(1+x_R)+3\,(2-y_R)-(3-z_R)$

simplificiando e igualando las dos expresiones, podemos escribir
    $2\,x_R+3\,y_R-z_R=2\quad \quad \quad (1)$

Por otro lado, teniendo en cuenta que $R(x_R,y_R,z_R)$ es un punto de la recta $r$, se cumple la doble igualdad de la ecuación en forma continua de la recta:

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{y_R+4}{3} \quad \quad \quad (2)$

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{z_R-3}{-1} \quad \quad \quad (3)$

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1), (2) y (3), encontramos, finalmente, les coordenadas del punto $R$. El sistema queda,

$\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ x_R & & &+&2\,z_R &=&3\\3\,x_R & -&2\,y_R && &=&-1\\ \end{matrix}\right\}$

que vamos a reducir por Gauss, procediendo a realizar las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones:

    $2\,e_2-e_1 \rightarrow e_2$
    $3\,e_1-e_e \rightarrow e_3$

obteniendo el sistema equivalente

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ & &-3\,y_R&+&5\,z_R&=&4\\ & &13\,y_R &-&3\,z_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

por comodidad, intercambiamos el orden de la segunda y tercera incógnitas:
    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &-3\,z_R &+&13\,y_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

y, finalmente, haciendo
    $5\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3$
llegamos al sistema escalonado ( reducido )

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &&&56\,y_R &=&52\\ \end{matrix}\right\}$

cuyo número de ecuaciones no identicamente nulas es $3$, luego el número de ecuaciones linealmente independientes es $3$, que coincide con el número de incógnitas, luego, por el Teorema de Rouché, el sistema es compatible determinado ( tiene solución única ), tal como cabía esperar. Veamos cuál es la solución.

De la tercera ecuación se obtiene el valor de $y_R$
    $y_R=\dfrac{52}{56}=\dfrac{13}{14}$

sustituyendo este valor en la segunda,
    $z_R=\dfrac{4+3\cdot \frac{13}{14}}{5}=\dfrac{19}{14}$

y, a su vez, sustituyendo ambos en la primera ecuación,
    $x_R=\dfrac{2-3\cdot \frac{13}{14}+\frac{19}{14}}{2}=\dfrac{2}{7}$

$\square$

[nota del autor]

Sobre los errores

Desde luego, todos nos equivocamos. Pero, ciertamente, el error, bien empleado, constituye una herramienta de aprendizaje muy valiosa. Las erratas que el lector pudiera encontrar pueden ser debidas a la forma de exposición ( incluyendo los errores tipográficos ), o bien al cálculo.

Cuando, descubro que hay alguna errata en algo que ya había expuesto - esto sucede o bien al hacer las revisiones y actualizaciones de dichos materiales, o bien gracias a la amable colaboración de los alumnos ( que me lo comentan en clase ), o a la de otros usuarios de este sitio ( que me lo comentan por correo electrónico ), a los que les doy las gracias de antemano -, me apresuro a realizar los cambios y correcciones oportunas; sin embargo, a veces pasa algún tiempo hasta que no me doy cuenta, por lo que, de antemano, pido disculpas a los lectores, por si se diera el caso.

[nota del autor]

Sobre los tipos de ejercicios

Los ejercicios que expongo son de diversa índole: a) problemas, que representan el tipo de ejercicio de mayor dificultad, pues trabajar con ellos requiere: comprender la naturaleza de los mismos, elaborar estrategias y enfoques, ser capaces de hacer los cálculos necesarios, y cotejar y analizar los resultados encontrados, teniendo que volver a empezar si algo no funcionara bien al final de dicho proceso; b) tareas rutinarias de cálculo en las cuales se utilizan las diversas técnicas y resultados de la teoría que, por supuesto, es necesario aprender y comprender, pues son indispensables para poder trabajar con los problemas; y, c) cuestiones, en las que intervienen definiciones, y demostraciones de resultados, que solemos emplear en las tareas rutinarias y en los problemas. Todos los ejercicios están resueltos y comentados; a veces, de varias maneras, para que se puedan ver las cosas desde varios enfoques; distintos, pero conducentes a unas mismas conclusiones y resultados y, por ello, enriquecedores.

[nota del autor]

Aprender y ayudar a aprender con las dudas

Con estos materiales espero ayudar resolver las viejas dudas a mis alumnos con mayor eficacia, reforzando, pues, mi labor en el aula; pero, también, deseo que se planteen nuevas preguntas y nuevos retos, para, así, no dejar de aprender; ello, por supuesto, es aplicable a todo en la vida, no sólo al aprendizaje de las matemáticas. Con todo ello yo, por supuesto, también aprendo. A veces, creemos haber "entendido" algo, pero tarde o temprano, barruntado sobre tales cosas, y a raíz de algo que requiera su comprensión, uno descubre que no es así, y, en realidad, se hace evidente que aún faltaban piezas por encajar, por lo que hay que volver sobre nuestros pasos, para poder seguir avanzando. Así, pues, el hecho de aprender es una aventura; esforzada, pero también gratificante desde el punto de vista emocional e intelectual, a la que no se debería renunciar.

[nota del autor]

Ejercicio de: a) cálculo de la recta tangente; b) cálculo de la integral definida

Enunciado:
Dada la función
$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$
se pide:
  a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x=0$
  b) Calcular
          $\displaystyle \int_{0}^{1}\,x\,f(x)\,dx$

Resolución:
Sea la recta tangente $\text{r.t. en O}:\,y=m\,x+k$ pedida, siendo $m=f'(0)$. Procederemos pues a calcular la función derivada de $f(x)$. Por la regla del cociente,
$f'(x)=\dfrac{(x)'\,(x^2+1)-(x^2+1)'\,x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1\cdot (x^2+1)-2\,x\cdot x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$
luego
$f'(0)=\dfrac{0^2+1}{(0^2+1)^2}=1$
y, por tanto, $m=1$

Procedemos ahora a calcular la ordenada en el origen $k$ de la recta tangente. Como $f(0)$, que es igual a
$\dfrac{0}{0^2+1}=0$
es la ordenada que corresponde a la abscisa $0$, que es la del punto de tangencia, y, además, ha de ser la también la ordenada de la propia recta tangente, deducimos que $k=0$. En otras palabras, la recta tangente que buscamos pasa por el origen de coordenadas; su ecuación es $\text{r.t. en O}:\, y=x$, como se muestra en la siguiente figura.

  b)
Calculemos una primitiva de
$\displaystyle \int\,x\,f(x)\,dx$
para ello, expresamos transformamos previamente la función del integrando $x\,f(x)$
esto es
$\dfrac{x^2}{x^2+1}$
puede espresarse de la forma
$1+\dfrac{x^2}{x^2+1}-1=1-\dfrac{1}{x^2+1}$
luego
$\displaystyle \int\,x\,f(x)\,dx=\displaystyle \int\,\big(1-\dfrac{1}{x^2+1}\big)\,dx=\displaystyle \int \,dx-\displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2+1}=x+\arctan{x}+C$
Por consiguiente, por la regla de Barrow
$\displaystyle \int_{0}^{1}\,x\,f(x)\,dx=\displaystyle \int \dfrac{x^2}{x^2+1}\,dx=$
        $=[x+\arctan{x}]_{0}^{1}=(1-0)-(\arctan 1 -\arctan 0)= 1-\dfrac{\pi}{4}$
donde hemos considerado el ángulo $x$ en el primer cuadrante: $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$

$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de análisis de una función real de una variable real

Enunciado:
Dada la función
    $f(x)=\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}$
se pide:
  a) Hallar las asíntotas de su gráfica
  b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión
  c) Esbozar la gráfica de la función

Resolución:
  a)
Observemos que la función no es continua en todos los puntos de $\mathbb{R}$ a excepción de $x=4$ y $x=-1$ pues al anularse los denominadores de los términos respectivos, éstos tienden a $\pm \infty$ cuando $x$ tiende a estas dos valores. Por lo tanto, la función tiene las siguientes asíntotas verticales: $r:x=4$ y $s:x=-1$. Por otra parte, vemos que
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{4}{x-4}+\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{27}{2x+2}=\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}=0$
luego el eje de abscisas es una asíntota horizontal de $f(x)$
Un examen de asíntotas oblicuas $\text{a.o}:y=mx+k$ nos lleva a concluir que esta función no las tiene; en efecto, al determinar la pendiente $m$ vemos que es nula. En efecto, calculando la función derivada de $f(x)$
$f'(x)=\Big(\dfrac{4}{x-4}\Big)'+\Big(\dfrac{27}{2x+2}\Big)'=\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\dfrac{-27\cdot 2}{(2x+2)^2}$
y pasando al límite
$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\,f'(x)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{-54}{(2x+2)^2}=0$
resultado que simplemente confirma la existencia de una asíntota horizontal, que ya hemos encontrado, pero no hay otras, aparte de las dos verticales.

-oOo-

  b)
Veamos los puntos de crecimiento nulo imponiendo la condición
$f'(x)=0$
que nos lleva a resolver la ecuación
$\dfrac{4}{(x-4)^2}+\dfrac{54}{(2x+2)^2}=0 \Leftrightarrow 7x^2-40x+88=0$
ecuación que no tiene solución en $\mathbb{R}$ pues el discriminante
$(-40)^2-4\cdot 88 \cdot 7$ es menor que cero, luego al no haber puntos donde la función pase de ser creciente a decreciente o viceversa, ésta es monótona, siendo su carácter decreciente ya que al aumentar el valor de la abscisa disminuye el valor de la ordenada en todo el dominio de continuidad ( que es $\mathbb{R}-\{-1,4\}$ ); conclusión que ya se entreveía atendiendo a este sólo razonamiento antes de intentar encontrar ceros de $f'(x)$.

A continuación, veamos si la función tiene puntos de inflexión ( en los que cambia el signo de la curvatura del gráfico ), ésto es, el de la segunda derivada. Por ello, calculemos la función segunda derivada e impongamos que sea cero para encontrar dichos puntos. La segunda derivada es
$f''(x)=\big(f'(x)\big)'=\bigg(\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\dfrac{-54}{(2x+2)^2}\bigg)'=\dfrac{8}{(x-4)^3}+\dfrac{27}{(x+1)^3}$
luego
$f''(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{8}{(x-4)^3}+\dfrac{27}{(x+1)^3}=0 \Leftrightarrow 35x^3-300x^2+1320x-1270=0$
ecuación polinómica de tercer grado de la que $x=2$ es una posible raíz entera ( por ser un divisor de $1270$ ) y, en efecto, dividiendo por Ruffini, y, por el teorema del resto, vemos que efectivamente lo es. No hay ninguna más, pues el polinomio cociente, que es $35x^2-230x+860$, es primo ( al ser su discriminante de la ecuación $35x^2-230x+860=0$, menor que cero ).
La ordenada del punto de inflexión es
$f(2)=\dfrac{4}{2-4}+\dfrac{27}{2\cdot 2+2}=\dfrac{5}{2}$
luego el punto de inflexión ( que denotaremos por $B$ ) tiene coordenadas $B(2,\frac{5}{2})$.

A partir de este resultado podemos escribir los intervalos de concavidad y convexidad.

Intervalos de convexidad ( signo negativo de la segunda derivada en todos sus puntos ):
      $(-\infty, -1) \subset \mathbb{R}$
      $(2, 4) \subset \mathbb{R}$
      $(4, +\infty) \subset \mathbb{R}$

Intervalos de concavidad ( signo positivo de la segunda derivada en todos sus puntos ):
      $(1, 2) \subset \mathbb{R}$

-oOo-

  c)
Para trazar el esquema del gráfico, determinaremos también los puntos de corte con los ejes. La ordenada en el origen es $f(0)=\dfrac{4}{0-4}+\dfrac{27}{2\cdot 0+2}=\dfrac{25}{2}$. Vamos a examinar ahora los ceros/raíces de la función $f(x)$; para ello, hagamos que ésta sea nula:
$f(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}=0 \Leftrightarrow 35x-100=0$
por tanto encontramos una sola raiz, $x=\frac{20}{7}$
Los puntos buscados son, por tanto
$A(\frac{20}{7},0)$
y
$C(0,\frac{25}{2}$

Ahora, podemos ya esbozar el trazo de la función:

$\square$

Plano tangente a la superficie de una esfera

Enunciado:
Dados el punto $P(1,2,-1)$ y el plano $\pi \equiv x+2y-2z+2=0$, sea $\mathcal{S}$ la esfera que es tangente al plano $\pi$ en un punto $P'$ de modo que el segmento $PP'$ es uno de sus diámetros. Se pide:
  a) Hallar el punto de tangencia $P'$
  b) Hallar la ecuación de $\mathcal{S}$

Resolución:
  a)
Un vector perpendicular a $\pi$ es $\vec{u}=(1,2,-2)$ y, como $\overrightarrow{PP'} \propto \vec{u}$ ( al ser $PP'$ un diámetro de $\pi$ ), existe un escalar $k$ tal que $\overrightarrow{PP'}=k\,\vec{u}$, es decir, denotando por $(x',y',z')$ las coordenadas de $P'$, podemos escribir

$\left\{\begin{matrix} x'-1 &=&k \\ y'-2 &=&2\,k \\ z'-(-1) &=&-k \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x'-1 &=&\dfrac{y'-2}{2} \quad \quad \quad \quad \quad (1)\\ x'-1 &=&-(x'-(-1)) \quad \quad (2) \end{matrix} \right.$

Por otra parte
$P'(x',y',z') \in \pi$
luego debe cumplirse $x'+2y'-2z'+2=0 \quad \quad \quad (3)$

Entonces, podemos calcular las coordenadas de $P'$ resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3); que, ordenado y simplificado, lo podemos escribir de la forma
$\left. \begin{matrix} x'&+&2\,y'&-&2\,z'&=&-2 \\ 2\,x'&-&y'&&&=&0 \\ x'&&&+&z'&=&0 \\ \end{matrix} \right\}$

De la tercera ecuación, $x'=-z'$ y sustituyendo en las dos primeras llegamos a
$\left. \begin{matrix} 3\,z'&-&2\,y'&=&2 \\ 2\,z'&+&y'&=&0 \end{matrix} \right\} \underset{(2\,e_2+e_1\rightarrow e_2)}{\sim} \left. \begin{matrix} 3\,z'&-&2\,y'&=&2 \\ 7\,z'&&&=&2 \end{matrix} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{matrix} x'=-\frac{2}{7} \\\\ y'=-\frac{4}{7} \\\\ z'=\frac{2}{7} \end{matrix} \right\}$

luego el punto de tangencia de $\pi$ y $\mathcal{S}$ es
      $P'\big(-\frac{2}{7},-\frac{4}{7},\frac{2}{7}\big)$

  b) La ecuación de la superfíce esférica es $ S\equiv (x-x_{C})^2+(y-y_{C})^2+(z-z_{C})^2=r^2 \quad \quad \quad (4)$
siendo $C(x_C,y_C,z_C)$ el centro de la esfera y $r$ el radio de la misma.

Procedamos pues a calcular las coordenada de $C$ y el valor de $r$
El punto $C$ es el punto medio del segmento $PP'$, y, siendo $P(1,2,-1)$, llegamos a

$x_C=\dfrac{x_P+x_P'}{2}=\dfrac{-\frac{2}{7}+1}{2}=\frac{5}{14}$

$y_C=\dfrac{y_P+y_P'}{2}=\dfrac{-\frac{4}{7}+2}{2}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$

$z_C=\dfrac{z_P+z_P'}{2}=\dfrac{\frac{2}{7}+(-1)}{2}=-\frac{5}{14}$

y, conociendo las coordenadas de $C$ y $P'$ podemos ahora calcular el valor del radio $r$ de la esfera

$r=\left\| \overrightarrow{CP'}\right\|=\left| \sqrt{ \big(1-\frac{5}{14}\big)^2+\big(2-\frac{10}{14}\big)^2+\big(-1-(-\frac{5}{14})\big)^2) } \right|= \frac{9}{14}\,\left|\sqrt{6}\right|$

Por tanto, sustituyendo las coordenadas de $C$ y el valor del radio $r$ en (4), llegamos a la ecuación pedida de la superficie de la esfera

$S \equiv \big(x-\frac{5}{14}\big)^2+\big(y-\frac{5}{7}\big)^2+\big(z-(-\frac{5}{14})\big)^2=\frac{243}{98}$

$\square$

[nota del autor]

Matrices ortogonales

Enunciado:
Sea la matriz
    $A=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$
  a) ¿ Qué significa que la matriz $B$ sea la matriu inversa de $A$ ?
  b) Encontrar el valor de $p$ para que la matriz inversa de $A$ sea igual a la matriz traspuesta $A$

a)       Resolución:
$B=A^{-1}$ si, y sólo si, $A$ es una matrizregular ( invertible ) y, por tanto, si $\det(A)\neq 0$, de tal manera que $B\,A=A\,B=I_3$, donde $I_3$ es la matriz identidad d'orden $3$


b)       Resolución:
Recordemos que
$A^{-1}=\dfrac{(\text{Adj}(A))^t}{\text{det}(A}$
en otras palabras
$A^{-1}=\Big(\dfrac{\alpha_{ij}}{\text{det}(A)}\Big)_{3 \times 3}^{t}=\Big(\dfrac{\alpha_{ji}}{\text{det}(A)}\Big)_{3 \times 3}$
  para $i,j=1,2,3$
donde los cofactores $\alpha_{ij}$ se calculan de la siguiente manera
$\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,A_{ij}$
siendo $A_{ij}$ los adjuntos ( menores de orden $n-1$, donde, en este caso, $n=3$ ) que se obtienen de los elementos que quedan al suprimir la fila y la columna del elemento $a_{ij}$ de la matriz $A$

Observemos que
$\alpha_{12}=-\begin{vmatrix} 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}}\\ p & -\frac{1}{\sqrt{6}}\end{vmatrix}=-\frac{2p}{\sqrt{6}}$
y teniendo en cuenta que
$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=\{f_2+f_3\rightarrow f_2; f_1+f_3 \rightarrow f_1\}$

        $=\begin{vmatrix}p+\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\ \\ p&0 &-\frac{3}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\,\begin{vmatrix} 0 &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p& -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=-(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}$
el elemento de la segunda fila y primera columna de la matriz inversa es
$\dfrac{-\frac{2p}{\sqrt{6}}}{-(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}$
y como se nos dice que $A^{-1}$ es igual a $A^t$, este valor deberá coincidir con el elemento de la segunda fila y primera columna de la matriz traspuesta de $A$, que es
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
es decir
$\dfrac{\frac{2p}{\sqrt{6}}}{(p+\frac{1}{\sqrt{2}}) \frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
de donde, resolviendo esta ecuación de primer grado, obtenemos el valor que toma $p$
$p=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\square$

b)       Resolución alternativa (ampliación):

Si $A^t=A^{-1}$, entonces $A$ es una matriz ortogonal, luego los vectores de componentes (Nota 1)
    $u_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},0,p)$
    $u_2=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})$
    $u_3=(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})$
dispuestos en columnas (y en el orden indicado), que forman los elementos de la matriz $A$, son ortogonales dos a dos y por consiguiente los valores del producte escalar euclídeo $\left \langle .,. \right \rangle$ ( respecte de la base canónica) son:

(i)    $\left \langle u_1,u_2 \right \rangle=0$
(ii)     $\left \langle u_1,u_3\right \rangle=0$
(iii)     $\left \langle u_2,u_3 \right \rangle=0$

En efecto, se comprueba que
(iii)     $\left \langle u_2,u_3 \right \rangle=[(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}),(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})]$
        $=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \big(-\frac{2}{\sqrt{6}}\big)+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}=2\,\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{6}}-2\,\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{6}}=0$

Luego de (i) o bien de (ii), podemos deducir el valor de $p$. Así, imponiendo la condición (i) encontramos que
    $\left \langle u_1,u_2 \right \rangle=[(\frac{1}{\sqrt{2}},0,p),(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})]=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{3}}-\dfrac{p}{\sqrt{3}}\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Observación:
Como podemos ver a continuación, de (ii) se obtiene también el resultado:
    $\left \langle u_1,u_3\right \rangle=[(\frac{1}{\sqrt{2}},0,p),(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})]=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{6}}-\dfrac{p}{\sqrt{6}}\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\square$

        Nota 1 (coordenadas/componentes de un vector):
        Suponemos que las coordenadas de los vectores dados son, en realidad sus, componentes; en otras palabras, vienen referidas a la base canónica, ésto es, a la formada por los vectores ( $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ del espacio vectorial.
$\square$

[nota del autor]

Otro ejercicio de integración

Enunciado:
Sea $f(x)$ una función continua tal que
$\int_{1}^{e}\,f(u)\,du=\frac{1}{2}$
Hallar
$\int_{0}^{2}\,f(e^{\frac{x}{2}})\,e^{\frac{x}{2}}\,dx$

Resolución:
Haciendo el cambio de variable
$e^{\frac{x}{2}}=u$
obtenemos
$du=(e^{\frac{x}{2}})'\,dx=\frac{1}{2}\,e^{\frac{x}{2}}\,dx$

Los nuevos límites de integración son los siguientes:
para $x=0$, $u=e^{0}=1$
para $x=2$, $u=e^{\frac{2}{2}}=e$

Luego
$\int_{0}^{2}\,f(e^{\frac{x}{2}})\,e^{\frac{x}{2}}\,dx=2\,\int_{1}^{e}\,f(u)\,du=2\cdot\frac{1}{2}=1$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de integración ( modelo de examen de las PAU )

Enunciado:
Sea $g(x)$ una función derivable tal que
$g(6)=\int_{5}^{6}\,g(x)\,dx$
Hallar
$\int_{5}^{6}\,(x-5)\,g'(x)\,dx$

Resolución:
Denotando por $u$ a $x-5$ ( y por tanto $du=dx$ ) y por $dv$ a $g'(x)\,dx$ ( con lo cual, $g(x)=v$ ) y teniendo en cuenta que
$\int_{a}^{b} u\,dv=[uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} \,v\,du ;\;\;a,b\in \mathbb{R}$
podemos escribir la integral pedida de la forma
$\int_{5}^{6}\,(x-5)\,g'(x)\,dx=[(x-5)\,g(x)]_{5}^{6}-\int_{5}^{6}\,g(x)\,dx$
$\quad=(6-5)\,g(6)-(5-5)\,g(5)-g(6)$
$\quad=g(6)-0-g(6)$
$\quad=0$
$\square$

[nota del autor]

Las matemáticas del planeta Tierra ( número de Octubre de 2013 de la revista Investigación y Ciencia)

Es muy recomendable el número de Octubre de 2013 de la revista Investigación y Ciencia, dedicado a las Matemáticas aplicadas a la ciencia global del planeta Tierra: Física y Matemática ( " ¿ qué es la realidad ? ), dinámica de fluidos de la atmósfera y los océanos, modelos climáticos, biodiversidad, evolución, propagación de enfermedades y redes sociales y cooperación.

[nota del autor]

Conjuntos bien ordenados

Se dice que un conjunto no vacío está bien ordenado si todos sus subconjuntos no vacíos tienen mínimo, esto es: si la mayor de las cotas inferiores ( o ínfimo ) de cada uno de ellos está incluida en el respectivo subconjunto. Esta propiedad de la buena ordenación es muy importante en los números naturales, pues en ella se sustenta el principio de inducción.

En efecto, el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ está bien ordenado. No lo está, sin embargo, el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$ y, por consiguiente, tampoco lo está el de los racionales $\mathbb{Q}$ ni el de los reales $\mathbb{R}$.

Para demostrar que el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ está bien ordenado expondré una sencilla y bonita demostración que puede encontrarse en muchos manuales y que contribuye a mostrar la belleza de las matemáticas. Deberemos probar pues que todos los subconjuntos no vacíos del conjunto de los números naturales tienen mínimo.

Sea $(\mathbb{N},\le)$ el conjunto de los números naturales con la relación de orden $\le$.
Sea $A$ un subconjunto no vacío cualquiera de $\mathbb{N}$, entonces cabe hacer distinción entre los siguientes casos:

(a) Si $1 \in A$, hemos terminado ya que cualquier número natural es mayor o igual que $1$, que es el menor número natural y, por tanto, el mínimo de $A$.
(b) Si $1 \notin A$, demostraremos que tiene elemento mínimo, procediendo por el método de contradicción. Sea $B$ el conjunto formado por todos los números naturales estrictamente menores que cualquier elemento de $A$ y partamos de la siguiente hipótesis: la menor de las cotas inferiores de $A$ (que denotamos por $m$) está en $B$. De dicha hipótesis se deduce que $m+1 \in A$. Por otra parte, al ser $m$ estrictamente menor que cualquier elemento $a \in A$, podemos escribir $m+1 \le a$, esto es: $m+1 \in B$, luego $m+1 \notin A$, llegando así a una contradicción y debiendo por tanto negar la hipótesis de partida, luego $m \in A$ y esto ocurre para cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$, luego dicho conjunto posee buena ordenación.   $\square$

[nota del autor]