Ejemplo de representación gráfica, con GNU MAXIMA, de planos en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$

Visualicemos, por ejemplo, la incidencia entre los planos $\pi:z-x-y+1=0$ y $\sigma:z+x-y=0$:

(%i57)	
  pi:x+y-1$
  sigma:-x+y$
  wxplot3d([x+y-1,-x+y,[x,-1,1],[y,-1,1]]);    

Se puede apreciar claramente la recta de intersección, cuya ecuación viene dada por la solución del sistema de ecuaciones compatible indeterminado $\left\{\begin{matrix}-x-y+z=-1 \\ x-y+z=0\end{matrix}\right.$; tomando una de las variables como parámetro libre, podemos calcular cualquiera de los infinitos puntos de los que consta dicha recta en el espacio. Se puede comprobar fácilmente que, de las ecuaciones implícitas (cartesianas) de arriba se llega a las siguientes ecuaciones paramétricas para la recta solución: $$ \left\{(x,y,z)=(-1/2\,,\,1/+\lambda\,,\,\lambda):\forall\,\lambda \in \mathbb{R}\right\}$$

$\diamond$

Algoritmo de multiplicación de dos matrices cuadradas de orden $3$. Implementación en lenguaje Python

ENUNCIADO. Sean dos matrices cuadradas de orden $3$: $A=(a_{ij})_{3 \times 3}$ y $B=(b_{ij})_{3 \times 3}$. Sabemos que el producto $A\,B$, viene dado por $\displaystyle A\,B=(c_{ij})_{3 \times 3}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\cdot b_{kj}$ para $i=1,2,3$ y $j=1,2,3$. Escríbase un programa en Python para multiplicar dos de esas matrices, elegidas libremente.

SOLUCIÓN

def multiplicar_matrices(A, B):
    C = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
    
    for i in range(3):
        for j in range(3):
            for k in range(3):
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
    
    return C

# Ejemplo de matrices de orden 3
A = [[1, 0, -1],
           [2, 1, 3],
           [-2, 0, -1]]

B = [[4, 1, 0],
           [5, -5, 0],
           [3, 2, 1]]

# Llamada a la función para multiplicar las matrices
C = multiplicar_matrices(A, B)

# Imprimir el resultado C
for fila in C:
    print(fila)

Puesta en marcha del programa y resultado:

>>> %Run multiplicardosmatricesdeorden3.py
[1, -1, -1]
[22, 3, 3]
[-11, -4, -1]

$\diamond$

-oOo-

Utilidades:

  [1] El software básico para trabajar con Python: https://www.python.org/
  [2] Un entorno de trabajo: https://thonny.org/
  [3] Un compilador en línea: https://www.tutorialspoint.com/online_python_compiler.php

Cosas que pasan cuando se empieza a trabajar con una herramienta CAS

Un ejemplo con GNU MAXIMA:

(%i1)	/* Habiendo asignado un valor concreto a la variable
	x ...*/
	x:3$
	
(%i2)	/* Quiero calcular, a continuación, la derivada 
	de una función, de variable x, por ejemplo ... */
	diff(x^2+x+1,x);
    
	/* y me encuentro con el siguiente problema: 
    MAXIMA nos dice ... */
    
       diff: second argument 
       must be a variable; found 3
       -- an error. 
       To debug this try: debugmode(true);

(%i3)	/* Para solucionarlo (no hace falta entrar en el modo
        depuración de código), basta con borrar la asignación
	    de valor que, en un principio 
        había realizado a la variable */ 
    
	kill(x)$

(%i4)	/* Ahora sí podré obtener la derivada ...*/
	diff(x^2+x+1,x);

(%o4)	2*x+1

$\diamond$

-oOo-

Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA

Un ejercicio con matrices del tipo triangular inferior

ENUNCIADO. Sean $a,b,c,d$ números reales, la matriz triangular inferior $A=\begin{pmatrix}a&0\\ b&a\end{pmatrix}$ no nula y la matriz triangular inferior $B=\begin{pmatrix}c&0\\ d&c\end{pmatrix}$ no nula (nótese que los elementos de las diagonales principales son tales que $A_{11}=A_{22}=a$ y $B_{11}=B_{22}=c$). Compruébese que, así definidas, las matrices $A$ y $B$ conmutan.

SOLUCIÓN. Los cálculos simbólicos los he realizado con ayuda de la herramienta CAS, GNU MAXIMA [1]

(%i28)	A:matrix( [a,0],[b,a]   ); /* Defino una matriz genérica A */
(%o28)	matrix(
		[a,	0],
		[b,	a]
	)
(%i29)	B:matrix( [c,0],[d,c]   ); /* Defino una matriz genérica B */
(%o29)	matrix(
		[c,	0],
		[d,	c]
	)
(%i30)	is(A.B=B.A); /* Compruebo si conmutan. Nótese que en MAXIMA 
                      es necesario usar el punto bajo (.)
                      para la multiplicación de matrices 
                      en lugar del punto elevado (·), pues éste
                      multiplica elemento a elemnto; tal cosa
                      da lugar a muchas confusiones */
(%o30)	true /* En efecto, así es */


(%i31)	A.B; /* Observo el por qué */
(%o31)	matrix(
		[a*c,	0],
		[a*d+b*c,	a*c]
	)
(%i32)	B.A;
(%o32)	matrix(
		[a*c,	0],
		[a*d+b*c,	a*c]
	)
(%i33)	A.B-B.A;
(%o33)	matrix(
		[0,	0],
		[0,	0]
	)

$\diamond$

-oOo-

Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA

Toda matriz cuadrada puede expresarse de manera única como la suma de una matriz cuadrada simétrica y una matriz cuadrada hemisimétrica

Proposición

Pruébese que siendo $Q$ cualquier matriz cuadrada de orden $n$, no nula. Entonces, es posible escribir $Q=S+H$ de manera única, donde $S$ es una matriz (no nula) simétrica ($S=S^\top$); y $H$ es una matriz (no nula) hemisimétrica ($H=-H^\top$), ambas de orden $n$.

Demostración

Al ser $S$ una matriz simétrica, podemos escribirla de la forma $S=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top) \quad (1)$, donde $Q$ es una matriz cualquiera. En efecto, al trasponer $S$, se tiene que $S^\top= \dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q^\top+Q)=S$, como debe ser.

Y al ser $H$ una matriz hemisimétrica, podemos escribirla de la forma $H=\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top) \quad (2)$, donde, igual que antes, $Q$ es una matriz cualquiera. En efecto, al trasponer $H$, se tiene que $H^\top= \dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q^\top-Q)=-\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=-H$, como debe ser.

De lo arriba dicho se sigue que, sumando miembro a miembro, las igualdades (1) y (2), se tiene que $S+H=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top)+\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q+Q^\top-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\,Q=Q$.

Veamos ahora que dicha descomposición $Q=S+H$ es única. Empecemos suponiendo lo contrario, entonces existe una matriz simétrica $S'\neq S$ y una matriz hemisimétrica $H'\neq H$ tales que $Q$ también puede expresarse como $Q=S'+H'$, entonces $Q=S+H=S'+H'$, y, por tanto, $(S+H)^\top=(S'+H')^\top$, esto es, $S^\top+H^\top=S'^\top+H'^\top$, y de ahí se sigue que $S-H=S'-H'$, luego $S-S'=H-H' \Leftrightarrow S-S'=H-H'=O$ (matriz nula), con lo cual $S=S'$ y $H=H'$, en contra de la hipótesis de partida.$\square$

Ejemplo

Cálculos efectuados con GNU Octave (la notación prima como instrucción indica la traspuesta de una matriz)

>> Q=[1,2,3;-1,0,2;2,1,1]
Q =

   1   2   3
  -1   0   2
   2   1   1

>> S=(Q+Q')/2
S =

   1.0000   0.5000   2.5000
   0.5000        0   1.5000
   2.5000   1.5000   1.0000

>> H=(Q-Q')/2
H =

        0   1.5000   0.5000
  -1.5000        0   0.5000
  -0.5000  -0.5000        0

>> S+H
ans =

   1   2   3
  -1   0   2
   2   1   1

$\diamond$

Un ejemplo de las bondades de usar una herramienta de cálculo automático para operar con matrices

Toda vez que ya se sepa operar perfectamente a mano, conviene aprender a utlizar un programa/calculadora que permita hacer cálculos de manera automática. Aquí tenéis un ejemplo con GNU Octave [1]: dada la matriz cuadrada, de orden $3$, $A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}$ y la matriz identidad (también de orden $3$), $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, queremos calcular la matriz que resulta al realizar la operación $A^5-2\,A^3+7\,A-I$. Basta con escribir las siguientes instrucciones en el panel correspondientes, para obtener el resultado rápidamente.

>> A=[1,-1,0;1,0,0;1,1,1]
A =

   1  -1   0
   1   0   0
   1   1   1

>> I=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
I =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1

>> A^5-2*A^3+7*A-I
ans =

   8  -6   0
   6   2   0
   0   9   5

>>

-oOo-

Utilidades:

  [1] GNU Octave

Un ejercicio sobre el producto de matrices

ENUNCIADO. Sean las matrices $A=\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$. Calcúlense los productos $A\,B$ y $B\,A$.

SOLUCIÓN. Los tamaños de las matrices son $A_{1\times 3}$ y $B_{3\times 1}$, por lo que $A\,B$ es una matriz de tamaño $1\times 1$; y $B\,A$, una matriz de tamaño $3\times 3$. Operando según la regla de multiplicación matricial, se obtiene $A\,B=1$ y $B\,A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}$. $\diamond$

-oOo-

Comentario/sugerencia: Si ya se ha aprendido a multiplicar matrices sin la ayuda de calculadora/ordenador, se utilice algúna herramienta de cálculo numérico (o bien alguna herramientas CAS). A continuación, muestro las instrucciones para hacerlo con GNU Octave [1]

    >> A=[1,0,1]
A =

   1   0   1

>> B=[0;1;1]
B =

   0
   1
   1

>> A*B
ans = 1
>> B*A
ans =

   0   0   0
   1   0   1
   1   0   1

>>

  

-oOo-

Utilidades:

  [1] GNU Octave

Otro ejercicio sobre potencias sucesivas de matrices cuadradas

ENUNCIADO. Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$, calcúlense las potencias sucesivas de $A$.

SOLUCIÓN. Calculemos las primeras potencias sucesivas: $$A^2=A\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ y, por tanto, $$A^3=A^2\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ $$A^4=A^3\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ y así sucesivamente; en vista de lo cual, se concluye que $A^n= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$ para todo $n\ge 2$. $\diamond$

Uso del álgebra lineal en un problema de sucesiones numéricas

ENUNCIADO. Considérese la sucesión de números enteros positivos $1,3,6,10,15,\ldots$. Obténgase la fórmula del término general y calcúlese el valor de quincuagésimo término.

SOLUCIÓN. Observemos que la sucesión de las primeras diferencias es $2,3,4,5,\ldots$; y, la de las segundas, $1,2,3,\ldots$. Una sucesión tal como la propuesta es de naturaleza cuadrática en $n$ (índice de los términos de la sucesión), por tanto podemos escribir que el término genérico es $f(n)=a\,n^2+b\,n+c$, donde los coeficientes (a determinar) son números racionales.

Calculemos pues el valor de dichos coeficientes. Para ello, basta tener en cuenta que $f(1)=1=a\cdot 1^2 + b\cdot 1+c$; $f(2)=3=a\cdot 2^2 + b\cdot 2+c$; y $f(3)=6=a\cdot 3^2 + b\cdot 3+c$. Así, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=1\\ 4a+2b+c=3\\ 9a+3b+c=6\end{matrix}\right.$$

En forma matricial, el sistema se escribe $$M\,X=B$$ donde $M=\begin{pmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1\\3\\6\end{pmatrix}$ y $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$

En mis materiales encontraréis muchos ejercicios de resolución de un sistema de ecuaciones lineales, paso a paso. En este caso en concreto, no deberíais tener ninguna dificultad para resolverlo sin ayuda de calculadora o de un ordenador; por lo que en este ejercicio vamos a emplear un programa de cálculo numérico, como es GNU OCTAVE [1], para resolverlo de manera automática, que, por razones más que obvias, también es muy conveniente que aprendáis a utilizarlo.

Las instrucciones que hay que escribir son muy sencillas, si bien pueden emplearse instrucciones de GNU Octave que corresponden a varios procedimientos alternativos de álgebra lineal (el enlace lleva a un artículo de otro de mis blogs, que recomiendo que leáis):

  >> M=[1,1,1;4,2,1;9,3,1]
M =

   1   1   1
   4   2   1
   9   3   1

>> B=[1;3;6]
B =

   1
   3
   6

>> X=linsolve(A,B)
A =

   0.5000
   0.5000
        0

  

Entonces, $a=b=1/2$ y $c=0$. Por consiguiente, $f(n)=\dfrac{n^2+n}{2}$; y, por tanto, $f(50)=\dfrac{50^2+50}{2}=1275$. $\diamond$

$\diamond$

-oOo-

Utilidades:

  [1] GNU Octave

Un ejercicio de demostración por inducción, y cálculo de la potencia $20$-ésima de una cierta matriz (cuadrada)

ENUNCIADO. Siendo $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$, demuéstrese la siguiente proposición $$\mathcal{P}:\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \text{para} \quad \mathbb{N} \ni n\ge 1$$

Una vez probada la proposición, calcúlese $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{20}$

SOLUCIÓN. Utilizaremos el métode de demostración por inducción, y por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1. La proposición se cumple para $n=1$; en efecto, $A=A^1\overset{\mathcal{P}(1)}{=}A^n|_{n=1}=\begin{pmatrix}1&1&\dfrac{1^2+1}{2}\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
2. Suponemos que la proposición es cierta para $n$: $\mathcal{P}(n): A^n=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}$ (hipótesis de inducción)
3. Deberemos probar ahora que la proposición también se cumple para $n+1$: $A^{n+1}=A^n\,A=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1&1+n+\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=$
   $=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{2(n+1)+n(n+1)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{(n+1)\left((n+1)+1\right)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=$ $=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{(n+1)^2+(n+1)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}$ y por tanto queda demostrada la validez de $\mathcal{P}$ para $n+1$, $\mathcal{P}(n+1)$. $\square$

Entonces, $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{20}\overset{\mathcal{P}(n=20)}{=}\begin{pmatrix}1&20&\dfrac{20^2+20}{2}\\0&1&20\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&20&210\\0&1&20\\0&0&1\end{pmatrix}$

$\diamond$

Potencia $n$-ésima de la matriz unitaria de orden $3$

ENUNCIADO. Pruébese (demuéstrese) que siendo $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$, entonces $A^n=3^{n-1}\,A$ para $\mathbb{N} \ni n\ge 1$

SOLUCIÓN. Utilizaremos el métode de demostración por inducción, y por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1. La proposición se cumple para $n=2$; en efecto, $A^2=A\,A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3&3\\3&3&3\\3&3&3\end{pmatrix}=3\,A=3^{2-1}\,A$
2. Suponemos que la proposición es cierta par $\mathbb{N} \ni n\ge 1$: $A^n=3^{n-1}\,A$ (hipótesis de inducción)
3. Deberemos probar ahora que también se cumple para $n+1$: $A^{n+1}\overset{\text{?}}{=}3^{(n+1)-1}\,A$, esto es $A^{n+1}\overset{\text{?}}{=}3^{n}\,A$. En efecto, de $A^{n}=3^{n-1}\,A$, y multiplicando por $A$ ambos miembros de la igualdad, se tiene que $A^{n}\,A=A^{N+1}=3^{n-1}\,A\,A=3^{n-1}\,A^2\overset{(1)}{=}3^{n-1}\cdot 3\, A=3^{(n-1)+1}\,A=3^n\,A=3^{(n+1)-1}\,A$

$\diamond$

Potencias sucesivas matrices que convergen a la matriz nula

ENUNCIADO. Dada la matriz $D=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$, calcúlense las potencias sucesivas de $D$.

2 ​ 3

SOLUCIÓN. Calculemos $D^2$: $$D^2=D\,D=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$$, y, por tanto, $$D^3=D^2\,D=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$$ y, al obtener la matriz nula, hemos terminado; esto es $D^n$ es la matriz nula si $n\ge 3$. $\diamond$

-oOo-

Observación: Recordemos, por otra parte, que $D^0=I$ (matriz identidad).

Matrices con potencias cíclicas

ENUNCIADO. Dada la matriz $C=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$, calcúlese la matriz $A^n$, donde $n$ es un número entero no negativo.

SOLUCIÓN. Calculemos $C^2$: $$C^2=CC=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I \quad \text{(matriz identidad)}$$ Entonces, $C^3=C^2\,C=I\,C=C$; $C^4\,C^3\,C=C^2=I$; $C^5=C^4\,C=I\,C=C$, y así sucesivamente (recordemos, también, que $C^0=I$); es decir, se estable un ciclo de potenciación de período $2$, por tanto, para un $n$ genérico se tiene que $C^n=C^r$, donde $r=\text{residuo}(n\div 2)$.

Dicho de otro modo: $$C^n=\left\{\begin{matrix}C & \text{si} & n & \text{es impar} \\ I & \text{si} & n & \text{es par} \end{matrix}\right.$$ $\diamond$

Matrices en el cuerpo de los números complejos

ENUNCIADO. Se consideran las siguientes matrices cuadradas de orden $3$ con elementos en el cuerpo $\mathbb{C}$: $$A=\begin{pmatrix}1&i&1\\ 1&1&i \\ 1&1+i&1+1\end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1/2&i/2&\dfrac{1-i}{2} \\ i/2&-1/2&\dfrac{1-i}{2}\end{pmatrix}$$

Demuéstrese que una es la inversa de la otra.

-oOo-

SOLUCIÓN. Recordemos las operaciones básicas con números complejos (suma y multiplicación), y, en especial, tengamos en cuenta que para calcular las sucesivas potencias de la unidad imaginaria $i$, hay que recordar que: $i=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=i^{2}\cdot i=-i$. Ello, junto con las operaciones de multiplicación de matrices y cálculo del determinante de una matriz cuadradas, es básico para resolver este ejercicio de cálculo con matrices.

Además, hay que tener en cuenta que, para que una matriz tenga matriz inversa, dicha matriz ha de ser regular (no singular), y, por tanto, su determinante ha de ser distinto de cero; que es lo que ocurre tanto con $A$ como con $B$. Puede comprobarse que $\text{det}(A)=2\neq 0$ y $\text{det}(B)=1/2\neq 0$, luego una y otra tienen matriz inversa.

Si dos matrices son mútuamente inversas, como supuestamente ocurre con las dos matrices propuestas, deberá cumplirse que $AB=BA=I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $3$ en es $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ y, efecto, efectuando las multiplicaciones vemos que $$\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1/2&i/2&\dfrac{1-i}{2} \\ i/2&-1/2&\dfrac{1-i}{2}\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&i&1\\ 1&1&i \\ 1&1+i&1+1\end{pmatrix}=\ldots=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

y $$\begin{pmatrix}1&i&1\\ 1&1&i \\ 1&1+i&1+1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1/2&i/2&\dfrac{1-i}{2} \\ i/2&-1/2&\dfrac{1-i}{2}\end{pmatrix}=\ldots=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

de lo cual se sigue que $A=B^{-1}$ y $B=A^{-1}$. $\diamond$

Un ejemplo de problemas que parecen más difíciles de lo que en realidad son

El buen manejo de las propiedades de los determinantes facilita la resolución de muchos problemas, que, en un primer vistazo, parencen complicados. Ved, por ejemplo, el siguiente:

Sean $A_{n \times n}=\begin{pmatrix}0 & 1 & &&\\ & 0 & 1 && \\ && \ddots & \ddots && \\& && 0 & 1 \\ & && & 0 \end{pmatrix}$ (ceros en la diagonal principal y unos en la segunda diagonal superior, siendo nulos el resto de los elementos) y $B_{n \times n}=\begin{pmatrix}0 & & &&\\ 1 & 0 & && \\ & 1 & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ \\ & & & 1 & 0 \end{pmatrix}$ (ceros en la diagonal principal y unos en la segunda diagonal inferior, siendo nulos el resto de los elmentos)

Demuéstrese que los determinantes $\text{det}(AB)$ y $\text{det}(BA)$ son ambos nulos.

-oOo-

Recordemos la siguiente propiedad de los determinantes: $\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)=\text{det}(B)\cdot \text{det}(A)=\text{det}(BA)$ . Sabemos que el determinante de una matriz triangular, ya sea ésta triangular superior o bien triangular inferior, es igual al producto de los elementos de su diagonal principal; entonces, como $A$ es una matriz triangular superior, y $B$ es una matriz triangular inferior, ambas con ceros en la diagonal principal, se tiene que $\text{det}(A)=0$ y $\text{det}(B)=0$; por consiguiente, y teniendo en cuenta la propiedad referida acerca del determinante del producto de matrices, concluimos que $\text{det}(AB)=0\cdot 0=0$ y $\text{det}(BA)=0\cdot 0=0$. $\diamond$