Determine, si es posible, los parámetros $\alpha$ y $\beta$ de modo que ...

ENUNCIADO.
a) Determine, si es posible, los parámetros $\alpha$ y $\beta$ de modo que se verifique la igualdad: $$\alpha\,\begin{pmatrix}3 & -4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}+\beta\,\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}3 & -8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$$
b) Determine los posibles valores de $\lambda$ para que el rango de la matriz $A$ sea $2$, donde $$A=\lambda\,\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

SOLUCIÓN. Como
a)
$$\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}$$ la ecuación pedida puede escribirse de la forma $$\alpha\,\begin{pmatrix}3 & -4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}+\beta\,\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$$ Operando el primer miembro, nos queda $$\begin{pmatrix}3\alpha+\beta & -4\alpha \\ 5\alpha+4\beta & -\alpha+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3\alpha+\beta=3 \\ -4\alpha=-8 \\ 5\alpha+4\beta=-2\\ -\alpha+\beta=-5\end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación se obtiene $\alpha=2$ y sustituyendo este valor en cualquier otra de las ecuaciones obtenemos $\beta=-3$.

b)
$A=\lambda\,\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
    $=\begin{pmatrix}2\lambda & 2\lambda \\ \lambda & 3\lambda \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
       $=\begin{pmatrix}2\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda & 3\lambda+1 \end{pmatrix}$

Teniendo en cuenta ahora que $$\begin{vmatrix}2\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda & 3\lambda+1 \end{vmatrix}=4\lambda^2+5\lambda+1=0\Leftrightarrow\lambda=\left\{\begin{matrix}-1 \\ -1/4\end{matrix}\right.$$ concluimos que $\text{rango}(A)=2 \Leftrightarrow \lambda \notin \{-1,-1/4\}\subset \mathbb{R}$
$\square$