Dadas las rectas ...

ENUNCIADO. Dadas las rectas
$$r\equiv\left\{\begin{matrix}x-2z-1=0 \\ x+y+z-4=0 \end{matrix}\right.$$ y $$s\equiv\{(2+\lambda,1-3\lambda,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}\}$$ Se pide:
a) Obtener la recta que pasa por el punto $P(1,0,5)$ y que corta perpendicularmente a $r$
b) Obtener el plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo a $s$
c) Hallar la distancia entre las rectas $r$ y $s$

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $r'$ la recta pedida ( que es perpendicular a $r$ y pasa por el punto $P(1,0,5)$ ). Entonces podemos escribirla de la forma $$r'\equiv (x-1,y-0,z-5)=k\,\overset{\longrightarrow}{P'P} \quad \quad (1)$$ donde $P'$ es el punto del plano $\pi$ que contiene a $r'$ e interseca a $r$

Necesitamos calcular las coordenadas del punto $P'$. Para ello, procedemos primero a calcular un vector que tenga la misma dirección que $r$. Para ello, escribimos las ecuación de $r$ en forma paramétrica: tomando $z$ como variable secundaria hacemos $\mu=z$ y de las ecuaciones cartesianas (implícitas) de $r$, se desprende $$\left\{\begin{matrix} x&&&&&=&1+2\mu \\ x&+&y&&&=&4-\mu \\ &&&&z&=&\mu \end{matrix}\\ \right.$$ y simplificando $$\left\{\begin{matrix} x&&&&&=&1+2\mu \\ &&y&&&=&3-3\mu \\ &&&&z&=&\mu \end{matrix}\\ \right.$$ luego un vector característico de $r$ es $$\vec{u}_r=(2,-3,1)$$

A continuación, determinaremos la ecuación del plano $\pi$, perpendicular a $r$ ( y por tanto a $\vec{u}_r=(2,-3,1)$ ) que contiene a $P$. Teniendo en cuenta las componentes del vector característico, sabemos que la ecuación general del haz planos paralelos que son perpendiculares a $r$ tiene por ecuación $2x-3y+z+D=0$, luego para determinar la ecuación del plano de dicha familia que pasa por $P(1,0,5)$, sustituimos $x$, $y$ y $z$ por el valor de las coordenadas respectivas de $P$: $$2\cdot 1+3\cdot 0+5+D=0$$ de donde, despejando $D$, obtenemos $D=-7$. Así obtenemos $\pi \equiv 2x-3y+z-7=0$

Por otra parte $P'$ está también en $\pi$ ( además de estar también en $r$ ), así que sus coordenadas corresponden a la solución del sistema de ecuaciones que se forma con las dos ecuaciones implícitas de $r$ ( que se dan directamente en el enunciado ) y la ecuación general del plano $\pi$ que acabamos de determinar:
$$\left\{\begin{matrix}x&&&-&2z&-&1&=&0\\ x&+&y&+&z&-&4&=&0 \\2x&-&3y&+&z&-&7&=&0\end{matrix}\right.$$ Resolviendo este sistema por Gauss llegamos a la siguiente solución $$\left\{\begin{matrix}x&&&&&=&3\\ &&y&&&=&0 \\&&&&z&=&1\end{matrix}\right.$$ Así pues, encontramos: $P'(3,0,1)$

Por tanto $$\overset{\longrightarrow}{P'P}=(1-3,0-0,5-1)=(-2,0,4)$$ y de (1) llegamos a $$r'\equiv (x-1,y-0,z-5)=k\,(-2,0,4) \quad \text{donde} \quad k \in \mathbb{R}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x=1-2k\\y=0\\z=5+4k\end{matrix}\right.$$ con lo cual también podemos expresar dicha recta como el conjunto de puntos $$r'\equiv \{(1-2k,0,5+4k):k\in \mathbb{R}\}$$

b)
De la recta $s\equiv \{(2+\lambda,1-3\lambda, \lambda): \lambda \in \mathbb{R}$ vemos que un vector característico de $s$ es $\vec{u}_s=(1,-3,1)$. Conocemos también un vector característico de $r$, que es $\vec{u}_r=(2,-3,1)$. Entonces, el vector característico $\vec{n}$ del plano pedido ( que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ ) ha de ser perpendicular a $r$ y a $s$, esto es, a $\vec{u}_r$ y a $\vec{u}_s$, por consiguiente $\vec{n}=\vec{u}_r \times \vec{u}_s$, donde el símbolo $\times$ denota el producto vectorial. Por tanto $$\vec{n}=\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} & \vec{k}\\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -3 & 1\end{vmatrix}=-\vec{j}-3\vec{k}$$ esto es $$\vec{n}=(0,-1,-3)$$ Podemos pues escribir la ecuación general del plano como $$-y-3z+D=0 \quad \quad (2)$$ Falta determinar el valor del coeficiente $D$, y para ello recordemos que el plano pedido ha de contener a $r$; como podemos expresar $r$ de la forma $r\equiv \{(1+2\mu,3-3\mu, \mu):\mu \in \mathbb{R}$, dando un valor arbitrario a $\mu$ encontramos uno de sus puntos, por ejemplo, si $\mu:=0$, vemos que un punto $R$ de $r$ es $R(1,3,0)$. Entonces, de (2) $$-3-3\cdot 0+D=0$$ deducimos que $$D=3$$ con lo cual el plano pedido tiene por ecuación $$-y-3z+3=0$$ o lo que es lo mismo $$y+3z-3=0$$

c)
La recta $r$ viene dada por un vector característico $\vec{u}_r$ ( ya hemos calculado uno ) y cualquiera de sus puntos $A_r$ ( que no es difícil encontrar ) . De la misma manera, la recta $s$ está dada por un vector característico $\vec{u}_s$ ( ya conocido ) y por uno cualquiera de los puntos de dicha recta $A_s$.

Un vector perpendicular a $\vec{u}_r$ y a $\vec{u}_s$ es $\vec{n}=(0,1,3)$, de forma que cualquier plano del que $\vec{n}$ sea vector característico será paralelo a $r$ y a $s$. Entonces, eligiendo entre esos planos al que contiene a $r$ ( que denotaremos por $\pi_r$ ), la distancia (mínima) entre $r$ y $s$ ha de ser igual a la distancia de cualquier punto de $s$ dicho plano, es decir, $$\text{distancia}(r,s)=\text{distancia}(A_r,\pi)=\left|\dfrac{\langle \overset{\longrightarrow}{A{_r}A_{s}},\vec{n}\rangle}{\left\|\vec{n}\right\|}\right| \quad \quad (3)$$

Recordemos que un punto $A_r$ de la recta $r\equiv \{(1+2\mu,3-3\mu,\mu):\mu \in \mathbb{R}\}$ lo hemos encontrado ( en el apartado anterior ) dando un valor arbitrario a $\mu$; por ejemplo, si $\mu:=0$, $A_r=(1,3,0)$. De forma análoga, un punto $A_s$ de la recta $s\equiv \{(2+\lambda,1-3\lambda,\lambda\}$ lo encontramos dando un valor arbitrario a $\lambda$, por ejemplo haciendo $\lambda:=0$, con lo cual $A_s=(2,1,0)$. Así, $$\overset{\longrightarrow}{A{_r}A_{s}}=(2-1,1-3,0-0)=(1,-2,0)$$ y por tanto, de (3)
$\text{distancia}(r,s)=\left|\dfrac{\langle (1,-2,0),(0,1,3) \rangle}{\left\|(0,1,3)\right\|}\right|=\left|\dfrac{\langle (1,-2,0),(0,1,3) \rangle}{\sqrt{\langle (0,1,3),(0,1,3) \rangle}}\right|$
$=\left|\dfrac{1\cdot 0 + (-2)\cdot 1+0\cdot 3}{\sqrt{0^2+1^2+3^2}}\right|=\left|\dfrac{-2}{\sqrt{10}}\right|=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$

NOTA: $\langle .,.\rangle$ designa el producto escalar euclídeo de dos vectores
$\square$