Sea $\pi$ el plano que contiene a los puntos (...)

ENUNCIADO. Sea $\pi$ el plano que contiene a los puntos $A(0,2,1)$, $B(1,0,1)$ y $C(-1,-2,-1)$. Calcule el volumen del tetraedro que forma el origen de coordenadas con los puntos de intersección de $\pi$ con cada uno de los ejes de coordenadas.

SOLUCIÓN.
Para calcular las coordenadas de los puntos de intersección del plano $\pi$ con los ejes de coordenadas, debemos encontrar primero la ecuación del plano. Dos vectores del plano son $$\overset{\longrightarrow}{AB}=(1-0,0-2,1-1)=(1,-2,0)$$ y $$\overset{\longrightarrow}{AC}=(-1-0,-2-2,-1-1)=(-1,-4,-2)$$ Entonces un vector perpendicular a $\pi$ ( y por tanto, característico de dicho plano ) es $$\vec{n}= \overset{\longrightarrow}{AB} \times \overset{\longrightarrow}{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ -1 & -4 & -2\end{vmatrix}=(4,2,-6) \propto (2,1,-3)$$ Así que la ecuación de la familia de planos paralelos a dicho plano $\pi$ es $$\mathcal{F}\equiv 2x+y-3z+D=0 \quad \quad (1)$$ Para determinar la ecuación de $\pi$ tendremos en cuenta algún punto que esté en dicho plano, por ejemplo, $B(1,0,1)$; sus coordenadas han de satisfacer la ecuación (1) y, por tanto, deduciremos el valor de $D$; así deberá cumplirse que $$2\cdot 1 + 0 - 3 \cdot 1+D=0 \Leftrightarrow D=1$$ con lo cual, sustituyendo en (1) vemos que la ecuación del plano es $$\pi \equiv 2x+y-3z+1=0$$

A continuación vamos a proyectar dicho plano sobre dos ( con dos bastará para determinar los tres puntos de intersección con los ejes ) de los planos del sistema de coordenadas, pongamos que con $Oyz \equiv x=0$ y $Oxz\equiv y=0$.

Proyectando $\pi$ sobre $Oyz$ ( imponiendo que $x=0$ ) obtenemos la recta y-3z+1=0, que corta al eje $Oz$ en $z=1/3$ y al eje $Oy$ en $y=-1$, luego obtenemos de ésto los puntos de corte $A(0,0,1/3)$ y $B(0,-1,0)$

Vamos a obtener ahora el punto de corte con el eje $Ox$. Al proyectar $\pi$ sobre $Oxz$ ( imponiendo que $y=0$ ) obtenemos la recta 2x-3z+1=0, que corta al eje $Ox$ en $x=-1/2$ ( y al eje $Oz$ en $z=1/3$, lo cual ya hemos deducido antes ), luego obtenemos así el tercer punto de corte $C(-1/2,0,0)$

Ahora ya conocemos los puntos que corresponden a los vértices del tetraedro: $O(0,0,0)$, $A(0,0,1/3)$, $B(0,-1,0)$ y $C(-1/2,0,0)$ y, con ellos podemos ya calcular el volumen del mismo, que es igual a $$\dfrac{1}{3}\cdot \text{área de la base} \cdot \text{altura} \quad \quad (2)$$

Para hacer este cálculo vamos a emplear los vectores $\overset{\longrightarrow}{OA}=(0,0,1/3)$, $\overset{\longrightarrow}{OB}=(0,-1,0)$ y $\overset{\longrightarrow}{OC}=(-1/2,0,0)$, pues el $$\text{área de la base}=\dfrac{\left\|\overset{\longrightarrow}{OA} \times \overset{\longrightarrow}{OB}\right\|}{2} \quad \quad (3)$$ y la altura se calcula de la forma $$\text{altura}=\dfrac{\left|\langle \overset{\longrightarrow}{OC}, \overset{\longrightarrow}{OA} \times \overset{\longrightarrow}{OB} \rangle \right|}{\left\|\overset{\longrightarrow}{OA} \times \overset{\longrightarrow}{OB}\right\|} \quad \quad (4)$$
donde $\langle .,.\rangle\rangle$ denota el producto escalar y $\times$ el producto vectorial

Poniendo ahora (3) y (4) en (2) y simplificando obtenemos que el volumen es igual al valor absoluto de
$\dfrac{1}{6}\,\left| \langle \overset{\longrightarrow}{OC}, \overset{\longrightarrow}{OA} \times \overset{\longrightarrow}{OB} \rangle \right|=\dfrac{1}{6}\,\begin{vmatrix} OC_x & OC_y & OC_z \\ OA_x & OA_y & OA_z \\ OB_x & OB_y & OB_z \end{vmatrix}=\dfrac{1}{6}\,\begin{vmatrix} -1/2 & 0& 0 \\ 0 & 0& 1/3 \\ 0 & -1& 0 \end{vmatrix}$
$=\dfrac{1}{6}\cdot (-\dfrac{1}{6})=-\dfrac{1}{36}$
luego el volumen pedido es igual a $$\left| -\dfrac{1}{36}\right|=\dfrac{1}{36}\; (\text{unidades de longitud })^3$$
$\square$