Investigando la incidencia de dos planos

ENUNCIADO. Se consideran los planos $\pi: x+y-z-1=0$ y $\pi':x-y+z=0$. Investigar la incidencia de los dos planos.

SOLUCIÓN. Los planos dados tienen algún punto en común si y sólo si el sistema de ecuaciones que forman es compatible. Procedemos a estudiar el sistema.
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=1 \\ x&-&y&+&z&=0\end{matrix}\right.$$ La matriz de los coeficientes del sistema es $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \overset{-f_1+f_2\rightarrow f_2}{\sim} \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$, luego $\text{rg}(A)=2$
y la matriz ampliada es $\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0\end{array}\right) \overset{-f_1+f_2\rightarrow f_2}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & -1\end{array}\right)$, y por tanto $\tilde{A}=2$

Como $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=r=2$, el sistema es compatible, luego hay elementos de incidencia. Al ser $r=2$, el número de variables secundarias es $n-r=3-2=1$; quiere decir esto que la dimensión del subespacio que resulta de la intersección de los dos planos es $1$, así que se trata de una recta. Vamos a determinar ahora dicha recta.

El sistema equivalente reducido ( por Gauss ) es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=1 \\ &&-2y&+&2z&=&-1\end{matrix}\right.$$ Eligiendo $z$ como variable secundaria ( parámetro ) y denotándola por $\lambda$, $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&1+\lambda \\ &&-2y&=&-1-2\lambda\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&1+\lambda \\ &&y&=&\dfrac{1+2\lambda}{2}\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo el valor de $y$ en la primera ecuación y teniendo en cuenta que $z=\lambda$ podemos escribir las ecuaciones paramétricas de la recta $$\left\{\begin{matrix}x&=&\dfrac{1}{2} \\ y&=&\dfrac{1+2\lambda}{2} \\ z&=&\lambda\end{matrix}\right.$$ Dicha recta, pues, viene dada por el siguiente conjunto (infinito) de puntos $$r:\{(1/2,(1+2\lambda)/2,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$