Sea la recta del espacio afín (...)

ENUNCIADO. Sea la recta del espacio afín $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x&=&1+3\,\lambda \\ y &=& 2\,\lambda \\ z&=&-1+\lambda \end{matrix}\right.$$ y el punto $P(0,1,1)$, no perteneciente a $r$. Determínese la ecuación del plano $\pi$ que contiene a $r$ y a $P$

SOLUCIÓN. Despejando el parámetro $\lambda$, podemos escribir la ecuación de la recta en forma continua $$r \equiv \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{1}$$ luego un vector de la dirección de $r$ es $\vec{u}=(3,2,1)$ que, evidentemente, está en $\pi$. Por otra parte, podemos obtener puntos de $r$ dando valores arbitrarios al parámetro $\lambda$; por ejemplo, si hacemos $\lambda:=0$, vemos que un punto de $r$ es $R(1,0,-1)$. Así, otro vector de $\pi$ es $\overset{\rightarrow}{RP}=(0-1,1-0,1-(-1))=(-1,1,2)$. Por tanto, un vector perpendicular a $\pi$ viene dado por $$\vec{n}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2\end{vmatrix}=3\,\vec{i}-7\,\vec{j}+5\,\vec{k}=(3,-7,5)$$ Así, $$\pi \equiv 3x-7y+5z+D=0$$ Para determinar el coeficiente $D$, imponemos que $P \in \pi$, con lo cual $$3 \cdot 0 - 7 \cdot 1 + 5 \cdot 1+D=0$$ de donde $$D=2$$ La ecuación del plano pedida es pues $$\pi\equiv 3x-7y+5z+2=0$$
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