Dado el plano (...)

ENUNCIADO. Dado el plano $\pi \equiv 3x+3y+z-9=0$, se pide:
a) Determinar la ecuación del plano perpendicular a $\pi$ que contiene al eje $Ox$
b) Determinar el punto del plano $\pi$ más cercano al origen de coordenadas

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $\pi'$ al plano pedido. Éste ha de ser uno de los planos del haz de planos cuya intersección es la recta $Ox \equiv \left\{\begin{matrix}y=0 \\ z=0\end{matrix}\right.$.

Los planos $y=0$ y $z=0$ ( cuya intersección es el eje $Ox$ ) forman parte de dicho haz de planos, luego la ecuación del mismo es $\mathcal{H} \equiv y+\mu z =0 \,,\,\mu \in \mathbb{R}$, luego los vectores característicos de los planos del haz tienen componentes $(0,1,\mu)$

Por otro lado, de la ecuación general del $\pi$ vemos que un vector característico de $\pi$ es $\vec{n}_{\pi}=(3,3,1)$

Como $\pi'$ y $\pi$ son perpendiculares, también lo son los vectores característicos de sendos planos, $\vec{n}_{\pi}$ y $\vec{n}_{\pi'}$, luego el producto escalar de éstos ha de ser igual a $0$ $$\langle \vec{n}_{\pi},\vec{n}_{\pi'}\rangle =0$$ con lo cual $$\langle (3,3,1,),(0,1,\mu)\rangle =0 \Leftrightarrow 3\cdot 0+3\cdot 1+1\cdot \mu=0 \Leftrightarrow \mu=-3$$ Así que el vector característico de $\pi'$ es $\vec{n}_{\pi'}=(0,1,-3)$, por consiguiente la ecuación general de $\pi'$ es $0\cdot x+y-3\,z+D=0 \quad \quad (1)$

Nos falta aún determinar el valor del coeficiente $D$. Para ello hemos de tener en cuenta que el punto $O(0,0,0)$ está en $\pi'$ ( por estar también en el eje $Ox$ ), por lo que sus coordenadas han de satisfacer la ecuación de $\pi'$, $$0\cdot 0+0-3\cdot 0+D=0 \Leftrightarrow D=0$$ Por tanto, sustituyendo el valor de $D$ que acabamos de encontrar en (1), llegamos a $$\pi'\equiv y-3x=0$$

b)
Por la noción de mínima distancia en el espacio euclídeo, el punto pedido $P$ ha de estar sobre la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el origen de coordenadas $O(0,0,0)$. A esta recta la llamaremos $r$.

Determinaremos, primero, la ecuación de $r$. Finalmente, calcularemos las coordenadas del punto de intersección de $r$ y $\pi$, que no es otro que el punto pedido $P$.

De la ecuación general de $\pi$ vemos que un vector característico del mismo ( un vector perpendicular a $\pi$ ) es $\vec{n}_{\pi}=(3,3,1)$. Como $r$ es perpendicular a $\pi$, un vector en la dirección de $r$ es el propio vector vector característico de $\pi$, de componentes $(3,3,1)$. Así que la ecuación de la recta $r$ ( que pasa por el origen de coordenadas ) podemos expresarla de la siguiente forma, $$r\equiv (x-0,y-0,z-0)=k\,(3,3,1)\,;\,k \in \mathbb{R}$$ y por tanto también de forma paramétrica $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x=3k \\ y=3k\\z=k\end{matrix}\right.$$ Despejando el parámetro, $$\left\{\begin{matrix}k=x/3 \\ k=y/3\\k=z\end{matrix}\right.$$ de donde escribimos las ecuaciones implícitas (cartesianas) de $r$ $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x-y=0 \\ y-3z=0\end{matrix}\right.$$

Ahora determinaremos las coordenadas del punto $P$ ( intersección de $r$ y $\pi$ ); para ello, resolveremos el sistema de ecuaciones formado por la ecuación general del plano $\pi$ y por las dos ecuaciones cartesianas de $r$: $$\left\{\begin{matrix}3x&+&3y&+&z&=&9 \\ x&-&y&&&=&0\\ x&&&-&3z&=&0\end{matrix}\right.$$
Un sistema equivalente, reducido por Gauss, es $$\left\{\begin{matrix}3x&+&3y&+&z&=&9 \\ &&6y&+&z&=&9\\ &&&&19z&=&9\end{matrix}\right.$$ Despejando la variable $z$ de la última ecuación, obtenemos $$z=\dfrac{9}{19}$$ sustituyendo este valor en la segunda ecuación obtenemos $$y=\dfrac{27}{19}$$ y, a su vez, sustituyendo el valor de las dos últimas incógnitas en la primera ecuación y despejando $x$ se obtiene $$x=\dfrac{27}{19}$$
$\square$