Calcular la integral indefinida de la siguiente función racional ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$

Solució:
La funció integrand $f(x)$ és una funció racional impròpia.
Efectuant la divisió $(x^3+x-1) \div (x^2-1)$
trobem que el polinomi quocient és igual a $x$, i el polinomi residu és $2\,x+1$
i, doncs, pel teorema de la divisió, podem escriure
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}=x+\dfrac{2\,x+1}{x^2-1}$
Llavors, podem escriure la integral de la forma
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}=\int{\bigg( x + \dfrac{2\,x+1}{x^2-1}\bigg)\,dx}$
            $= \displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{x^2-1}\,dx}$
i tenint en compte que podem factoritzar el polinomi del denominador de la funció integrand del tercer terme: $x^2-1=(x-1)\,(x+1)$
escriurem
                $\dfrac{1}{x^2-1}$
com la suma de dues fraccions algebraiques
                $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}$
Per tant ( i recopilant ), la integral donada
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$
és igual a la següent suma d'integrals ( més senzilles ):
    $\displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}\,dx}-\int{ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}\,dx}$
que, integrades, i sumades, menen a
    $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x-1\right|}-\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x+1\right|}+C$
        $=\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}+C$
on $C$, per ser la constant d'integració, és qualsevol nombre real.
$\square$

[nota del autor]

Demostrar la siguiente propiedad ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Designem amb $n$ el cardinal d'un conjunt finit $A$ (nombre d'elements del conjunt). Demostreu la següent propietat:
    $n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

Ajuts:

  a) Feu servir les definicions dels conjunts: $\bar{A}$, complementari absolut de $A$; i $\bar{A_{B}}$, complementari de $A$ relatiu a $B$, éssent $A \subseteq U$ i $B \subseteq U$ (on $U$ designa el conjunt universal ). Per tant,
    $\bar{A_{U}}=\{x \in U : x \notin A\}$
    $\bar{A_{B}}=\{x \in A : x \notin B\}$

  b) Feu servir la següent propietat (que considerarem trivial):
    Si $A \cap B = \varnothing$, llavors
    $n(A \cup B) = n(A)+n(B)$

Solució:
Considerant el fet que
    $\bar{A_{B}} \cap B = \varnothing$
podem escriure la unió de $A$ i $B$ de la forma
    $A \cup B = \bar{A_{B}} \cup B$
i per la propietat (b)
    $n(A \cup B) = n\big(\bar{A_{B}}\big) + n(B) \quad \quad (1)$
Tenint en compte, ara, que
    $A=\bar{A_{B}} \cup (A \cap B)$
i que
    $\bar{A_{B}} \cap (A \cap B) = \varnothing$
emprant, altra vegada la propietat (b), escriurem
    $n(A)=n(\bar{A_{B}}) + n(A \cap B)$
i, per tant,
    $n(\bar{A_{B}})=n(A) - n(A \cap B)$
que substituït en (1) permet arribar a la igualtat que volíem demostrar
    $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$\square$

Observació:   Per inducció es poden demostrar altres propietats que es desprenen d'aquesta que acabem de demostrar, tot generalitzant-la, per exemple:
    $n(A \cup B \cup C) = \ldots $
        $= n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
Totes aquestes propietats són molt útils per al càlcul de probabilitats.

[nota del autor]

Demostrar ( formalmente ) que el valor del límite es ...

ENUNCIADO: ´
Demostrar que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\,x^2=4$, mediante el procedimiento de $\varepsilon$ y $\delta$.

SOLUCIÓN:
Hay que demostrar que dado $\varepsilon \prec 0$, existe $\delta \prec 0$ tal que $\left|x^2-4\right|\prec \varepsilon$ para $\left|x^2-4\right|\prec \delta$.
Entonces, como $\left|x-2\right| \prec \delta$, podemos escribir
$-\delta \prec x-2 \prec \delta $
$\Leftrightarrow -\delta + 2 \prec x-2+2 \prec \delta +2 $
  $\Leftrightarrow -\delta+2 \prec x \prec \delta+2 $
    $\Leftrightarrow (-\delta+2)^2 \prec x^2 \prec (\delta+2)^2 $
      $\Leftrightarrow \delta^2-4\delta+4 \prec x^2 \prec \delta^2+4\delta+4 $
        $\Leftrightarrow \delta^2-4\delta+4-4 \prec x^2-4 \prec \delta^2+4\delta+4-4$
          $\Leftrightarrow \delta^2-4\delta \prec x^2-4 \prec \delta^2+4\delta$     (1)

Ahora bien, si $\delta \prec 1$, $\delta^2 \prec \delta$, luego $\delta^2+4\delta \prec \delta + 4\delta =5\delta$; y $\delta^2-4\delta \succ -\delta^2-4\delta \succ -\delta - 4\delta=5\delta$.

Así, de (1), podemos escribir: $-5\delta \prec x^2-4 \prec 5\delta$. Y, tomando, $\delta:=\dfrac{\varepsilon}{5}$, llegamos a $-\varepsilon \prec x^2-4 \prec \varepsilon$; esto es, $\left|x^2-4\right|\prec \varepsilon$. $\square$

[nota del autor]

Ejemplo de demostración por el método de inducción. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $2+4+6+\ldots+2n=n\,(n+1)$     ( $n \in \mathbb{N}$ ).

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $2\,(n+1)$ al primer membre (sumem el nombre parell consecutiu al darrer terme), obtenint
  $\big(2+4+6+\ldots+2n\big)+2\,(n+1)$
que, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a $n\,(n+1)+2\,(n+1)$
expressió que és igual a $n^2+3\,n+2$
i, factoritzada, queda
$(n+1)\,(n+2)$
per tant es reprodueix la mateixa estructura de l'expressió del 2n membre per a $n+1$; en efecte, per veure-ho ben clar, tan sols cal substituir $n$ per $n+1$ a l'expressió del segon membre, verificant la reproducció de l'estructura de l'expressió. Llavors, queda provada $\mathcal{P}$.
$\square$

Ejercicio de demostración por el método de inducción. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $1+4+7+\ldots+(3\,n-2)=\dfrac{1}{2}\,n\,(3\,n-1) \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}$

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $3\,(n+1)-2$ al primer membre (sumem el valor del terme consecutiu de la successió aritmètica de diferència igual a $3$), obtenint
  $\bigg(1+4+7+\ldots+\big(3\,n-2\big)\bigg)+\big((3\,(n+1)-2\big)$
i, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a
$\dfrac{1}{2}\,\bigg(\,n\,(3\,n-1)+2\,\big((3\,(n+1)-2\big)\bigg)$
expressió que és igual a
$\dfrac{1}{2}\,\big(3\,n^2+5\,n+2\big)$
i, factoritzada, queda
$\dfrac{1}{2}\,(n+1)\,(3\,n+2)$
on reconeixem la reproducció de l'estructura de la propietat $\mathcal{P}$ per a $n+1$
$\dfrac{1}{2}\,(n+1)\,(3\,(n+1)-1)$
i, doncs, queda provada $\mathcal{P}$.
$\square$

Considérese una recta ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu una recta $r$ de $\mathbb{R}^3$ (espai vectorial afí) que ve donada per la intersecció del següent parell de plans:
    $r:\,\,\left\{\begin{matrix}\pi_1:\;\; x+y+z-1=0\\\\\pi_2:\;\;x+2y+3z+5=0\end{matrix}\right.$
Justifiqueu que la dimensió del subespai vectorial associat a la recta és $1$ i determineu un vector que faci de base d'aquest subespai vectorial.

Solució:
Abans de fer càlculs, cal que ens adonem que, a l'espai afí, si els plans no són paral·lels o coincidents, que no es el cas, la seva intersecció és una recta, per tant la dimensió de la recta, com a subespai de l'espai vectorial afí $\mathbb{R}^3$, ha de ser igual a $1$ perquè, vist des d'un punt de vista físic, damunt d'aquesta tan sols hi ha un grau de llibertat. Dit això, anem a donar una justificació més formal:

Reduint el sistema per Gauss-Jordan veiem que es compatible indeterminat, amb dues de les seves variables depenent d'un sol paràmetre (la tercera variable), per a la qual escollirem, per exemple, $z$, donant-li així el paper de paràmetre; l'anomenem $\lambda$.

Llavors,
    $r:\,\,\left\{\begin{matrix} x&\,&\,&\;\;&=&-4-5\lambda\\\\&\,&\,&y&=&4\lambda+5\end{matrix}\right.$
D'on es fa palès que el rang del sistema d'equacions es $r=2$ y, per tant, la dimensió del subespai vectorial associat a la recta és igual a $n-r=3-2=1$, tal i com volíem demostrar.
Del sistema reduït obtenim les equacions de la recta en funció del paràmetre $\lambda$:
    $r:\,\,\left\{\begin{matrix} \dfrac{x+4}{-5}=\lambda\\\\\dfrac{y-5}{4}=\lambda\\\\ z=\lambda\end{matrix}\right.$
Escrivint, ara, l'equació de la recta en forma contínua arribem a
    $\dfrac{x-(-4)}{-5}=\dfrac{y-5}{4}=\dfrac{z-0}{1}$
d'on, dels denominadors, trobem que un vector director de $r$ es $(-5,4,1)$, que podem prendre com a base del subespai vectorial que representa la recta $r$: tot vector damunt d'aquesta recta és proporcional $(-5,4,1)$, és a dir, es combinació lineal d'aquest, i per tant una base de l'espai vectorial associat a la recta és $\mathcal{B}_r=\{(-5,4,1)\}$
$\square$

[nota del autor]

Determinar la ecuación del plano tal que ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu l'espai afí $(\mathbb{R}^3, O, \mathcal{B})$ on:
    $\mathbb{R}^3$ és l'espai vectorial estàndard sobre el cos $\mathbb{R}$
    L'origen de coordenades $O$ el prenem en el punt de coordenades $(0,0,0)$
    La base $\mathcal{B}$ escollida de l'espai vectorial $\mathbb{R}^3$ està formada pels vectors
            $\{e_1=1,0,0,e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)\}$
                ( que es la base estàndard o canònica).
Determineu l'equació implícita (o e. general) del pla que passa pels punts $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ i $R(0,0,1)$


  Comentari:   Les projeccions d'aquest pla sobre els plans $Oxy$, $Oxz$ i $Oyz$, són rectes que formen angles de 45º amb els eixos respectius.

Solució:
L'equació implícita del pla
    $A\,x+B\,y+C\,z+D=0$
que passa per tres punts donats
    $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ i $R(x_R,y_R,z_R)$
ve donada per
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ x_P&y_P &z_P &1 \\ x_Q&y_Q &z_Q &1 \\ x_R&y_R &z_R &1 \end{vmatrix}=0$
que, amb les dades donades, es concreta així
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=0$
Per calcular el determinant d'ordre $4$ desenvoluparem pels adjunts de la primera columna
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=x\,\begin{vmatrix} 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y&z &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}=x-(1-y-z)$
                                                                              $=x+y+z-1$

Per tant el pla $\pi_{PQZ}$ ve descrit per l'equació (e. general del pla):

    $\pi_{PQZ}:\;\; x+y+z-1=0$

Nota:   Observem que si fem les projeccions del pla sobre els tres plans $Oxy$ ( fent $z=0$ ), $Oyz$ ( fent $x=0$ ) i $Oxz$ ( fent $y=0$ ) obtenim, respectivament, les rectes:
    $x+y=1$, és a dir, la recta $y=-x+1$ ( en el pla $Oxy$ )
    $z+y=1$, és a dir, la recta $z=-y+1$ ( en el pla $Oyz$ )
    $x+z=1$, és a dir, la recta $z=-x+1$ ( en el pla $Oxz$ )
$\square$

[nota del autor]

Calcular el límite ...

Enunciado:
Calcular el siguiente límite
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, x\,\tan\, \dfrac{1}{x}$

Solución:
Teniendo en cuenta que la función tangente no está acotada
    $\tan\,\alpha \in (-\infty, \infty)$
y aunque el factor $x$ tienda a cero cuando $x \rightarrow 0$, debemos tener en cuenta que la tangente de $1/x$ oscil·la entre $-\infty$ y $+\infty$: pequeñas variaciones de $x$ dan lugar a grandes variaciones del argumento de la razón tangente ( $1/x \rightarrow \infty$ cuando $x \rightarrow 0$ ), se concluye de ello que el límite no existe.
$\square$

[nota del autor]

Espiral de Arquimedes ( representada en coordenadas polares y haciendo uso de MAXIMA )

[nota del autor]

Ejemplo de trazo de una curva en coordenadas paramétricas usando MAXIMA

[nota del autor]

Ejemplo de uso de MAXIMA para desarrollar una función por serie de Taylor, alrededor de $x=0$ y hasta el término de orden $10$

[nota del autor]

Ejemplo de interpolación por el método de Lagrange haciendo uso de MAXIMA

[nota del autor]

Aplicar la regla de L'Hôpital para calcular el siguiente límite ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}$

Solució:
Passant al límit ens trobem amb una indeterminació del tipus zero partit per zero que tractarem fent ús de la regla de l'Hôpital repetidament:
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(x^2)^{'}}{(\sin^{2}\,x)^{'}}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{2\,\sin\,x\,\cos\,x}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{\sin\,2\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(2\,x)^{'}}{(\sin\,2\,x)^{'}}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2}{2\,\cos\,2\,x}=\dfrac{2}{2\,\cos\,(2\cdot 0)}=\dfrac{2}{2\cdot \cos \,0}=\dfrac{2}{2\cdot 1}=1$
$\square$

[nota del autor]

Cálcular el siguiente límite. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, x\,\sin\, \dfrac{1}{x}$

Solució:
Tenint en compte que la funció
    $\sin \, \dfrac{1}{x}$
està fitada entre $-1$ i $1$
i que el factor $x$ tendeix a zero quan $x \rightarrow 0$
llavors
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, x\,\sin\, \dfrac{1}{x}=0$
$\square$

[nota del autor]

Calcular el límite ...

Enunciado:
Calcular el límite
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, x\,\sin\, x$

Solución:

Teniendo en cuenta que:
    1) la función seno toma valores comprendidos entre $-1$ y $1$ y que cuando $x \rightarrow \infty$ no es posible saber qué valor toma
    2) la función $x$ no es acotada
debemos concluir que el límite pedido no existe.
$\square$

[nota del autor]