Incidencias de rectas en el espacio. Ejemplo de dos rectas coincidentes

ENUNCIADO. Sean las rectas $r\equiv x=y=z$ y $s \equiv \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{2}$ Investíguese la incidencia

SOLUCIÓN.
Un vector $\vec{u}$ de $r$ es $\vec{u}=(1,1,1)$ y un punto $P$ de dicha recta es $P(0,0,0)$
Un vector $\vec{v}$ de $r$ es $\vec{v}=(2,2,2)$ y un punto $Q$ de dicha recta es $Q(1,1,1)$
El vector que desde $P$ ( de la recta $r$ ) que apunta a $Q$ ( de la recta $s$ ) es $\overset{\rightarrow}{PQ}=(1-0,1-0,1-0)=(1,1,1)$

Examinemos el rango de $\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\}$:

  $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}\,\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 1&1&1 \\ 2&2&2\end{pmatrix}=1$, luego al ser los tres vectores de la misma dirección, las rectas $r$ y $s$ son coincidentes. $\square$