a) La velocidad al cabo de 2\,\text{s}
b) La distancia de trayecto recorrida al cabo de 3\,\text{s}
c) El incremento de velocidad entre los instantes t=1\,\text{s} y t=3\,\text{s}
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por x(t) la función que proporciona la posición del cuerpo en un instante de tiempo t con respecto al origen del sistema de referencia ( Nota: la elección del origen del sistema de referencia, en reposo, es arbitraria ).
Sabemos que, en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, \dfrac{d^2(\,x(t))}{dt^2}=g ( donde la constante g denota la aceleración de la gravedad, o lo que es lo mismo, la intensidad del campo gravitatorio ), entonces integrando con respecto de t, \dfrac{d(\,x(t))}{dt} \equiv v(t)=g\,t+C, siendo v(t) la velocidad en cada instante de tiempo.
Como v(0)=0 ( información del enunciado ), tenemos que 0=g\cdot 0 +C \Rightarrow C=0, con lo cual v(t)\equiv \dfrac{d\,(x(t))}{dt}=g\,t
b) De lo anterior, se deduce:\displaystyle \Delta\,x |_{ t_i \rightarrow t_f } = \int_{t_i}^{t_f}\,\dfrac{d\,(x(t))}{dt}\,dt
y por tanto
\displaystyle \Delta\,x |_{ 0\,\text{s} \rightarrow 3\,\text{s} } = \int_{0}^{3}\, g\,t\,dt=\left[\dfrac{1}{2}\,g\,t^2\right]_{0}^{3}=\dfrac{9}{2}\,g\;\text{m}\overset{g \approx 9,8\,\text{m}/\text{s}^{2}}{\approx} 44,1 \,\text{m}
c) Teniendo pues en cuenta que \displaystyle \Delta\,v |_{ t_i \rightarrow t_f } = \int_{t_i}^{t_f}\,\,\dfrac{d^2\,(x(t))}{dt^2}\,dt
y que \dfrac{d^2\,(x(t))}{dt^2}=g
podemos escribir \displaystyle \Delta\,v |_{ 1\,\text{s} \rightarrow 3\,\text{s} } = \int_{1}^{3}\,g\,\,dt=\left[g\,t\right]_{1}^{3}=(3-1)\,g=2\,g\;\text{m}/\text{s}=\overset{g \approx 9,8\,\text{m}/\text{s}^{2}}{\approx} 19,6 \,\text{m}/\text{s}
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