Un ejercicio de aplicación de la integración de las ecuaciones del movimiento en caída libre

ENUNCIADO. Se abandona un cuerpo en caída libre, partiendo del reposo. Se pide:
a) La velocidad al cabo de $2\,\text{s}$
b) La distancia de trayecto recorrida al cabo de $3\,\text{s}$
c) El incremento de velocidad entre los instantes $t=1\,\text{s}$ y $t=3\,\text{s}$

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $x(t)$ la función que proporciona la posición del cuerpo en un instante de tiempo $t$ con respecto al origen del sistema de referencia ( Nota: la elección del origen del sistema de referencia, en reposo, es arbitraria ).

Sabemos que, en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, $\dfrac{d^2(\,x(t))}{dt^2}=g$ ( donde la constante $g$ denota la aceleración de la gravedad, o lo que es lo mismo, la intensidad del campo gravitatorio ), entonces integrando con respecto de $t$, $\dfrac{d(\,x(t))}{dt} \equiv v(t)=g\,t+C$, siendo $v(t)$ la velocidad en cada instante de tiempo.

Como $v(0)=0$ ( información del enunciado ), tenemos que $0=g\cdot 0 +C \Rightarrow C=0$, con lo cual $$v(t)\equiv \dfrac{d\,(x(t))}{dt}=g\,t$$

b) De lo anterior, se deduce:$$\displaystyle \Delta\,x |_{ t_i \rightarrow t_f } = \int_{t_i}^{t_f}\,\dfrac{d\,(x(t))}{dt}\,dt$$ y por tanto
$$\displaystyle \Delta\,x |_{ 0\,\text{s} \rightarrow 3\,\text{s} } = \int_{0}^{3}\, g\,t\,dt=\left[\dfrac{1}{2}\,g\,t^2\right]_{0}^{3}=\dfrac{9}{2}\,g\;\text{m}\overset{g \approx 9,8\,\text{m}/\text{s}^{2}}{\approx} 44,1 \,\text{m}$$

c) Teniendo pues en cuenta que $$\displaystyle \Delta\,v |_{ t_i \rightarrow t_f } = \int_{t_i}^{t_f}\,\,\dfrac{d^2\,(x(t))}{dt^2}\,dt$$ y que $$\dfrac{d^2\,(x(t))}{dt^2}=g$$ podemos escribir $$\displaystyle \Delta\,v |_{ 1\,\text{s} \rightarrow 3\,\text{s} } = \int_{1}^{3}\,g\,\,dt=\left[g\,t\right]_{1}^{3}=(3-1)\,g=2\,g\;\text{m}/\text{s}=\overset{g \approx 9,8\,\text{m}/\text{s}^{2}}{\approx} 19,6 \,\text{m}/\text{s}$$
$\square$