Primitivas no elementales

Hay integrales indefinidas cuya familia de primitivas no es expresable combinando funciones elementales (polinomicas, exponenciales, trigonométricas, etc.). Si os encontráis con alguna de ellas en un examen de bachillerato —sería sin duda un error de diseño del ejercicio—, por ejemplo, $\displaystyle \int\,e^{-x^2}\,dx$. En tal caso, simplemente tenéis que tener en cuenta lo que acabo de decir, y quedaros ahí, pues la dificultad para resolverlo no corresponde a vuestro nivel de aprendizaje; no es que no se pueda resolver, pues hay que tener bien presente y saber de antemano que cualquier función continua, como en este caso $e^{-x^2}$, ciertamente, es integrable.

Por si alguien tiene curiosidad, os diré que el resultado tiene que ver con una función llamada función error, $\text{erf}(x)$, (relacionada con la probabilidad y la estadística), $\displaystyle \int\,e^{-x^2}\,dx=\dfrac{{\sqrt{\pi}}}{2}\,\text{erf}(x)+C\,,\,\forall\,C \in \mathbb{R}$, pero eso os lo dejo para el curso siguiente, que ya estaréis en la facultad.

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Observación importante:

No obstante lo que acabo de decir, sí que tenéis que saber lo que os voy a comentar a continuación, lo cual, dicho sea de paso, está relacionado con esa función error de la que os acabo de hablar (como veréis en cursos superiores):

Cuando estudiéis la función de distribución de probabilidad de Gauss (en este mismo curso) veréis que el resultado de la integral impropia $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^{2}/2}\,dx$ es igual a $\sqrt{2\,\pi}$, pues al ser $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,e^{-x^{2}/2}$ la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal (gaussiana) de media $\mu=0$ y desviación estándar $\sigma=1$, al integrar en todo el dominio, su resultado ha de ser igual a la probabilidad total, esto es, igual a $1$ $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,e^{-x^{2}/2}\,dx= \dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^{2}/2}\,dx=1 \Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^{2}/2}\,dx=\sqrt{2\,\pi}$$ De ahí se demuestra que $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^2}\,dx= \sqrt{\pi}$$ En efecto, haciendo el cambio de variable $x:=t/\sqrt{2}$, se tiene que $dx=\left( t/\sqrt{2} \right)'\,dx = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,dx$; entonces, como $t \rightarrow -\infty$ cuando $x \rightarrow -\infty$ y $t \rightarrow +\infty$ cuando $x \rightarrow +\infty$, se tiene que $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^2}\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-t^2\,/2}\,\dfrac{dt}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-t^2\,/2}\,dt=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2\pi}=\sqrt{\pi}.\,\diamond$$

Un ejercicio de cálculo de primitivas

Se nos pide que resolvamos la siguiente integral indefinida: $$\displaystyle \int\,2x^2\,e^{-x^3}\,dx$$

Que no cunda el pánico. Observemos que la derivada de $e^{-x^3}$ es $-3\,x^2\,e^{-x^2}$, y por tanto $d(e^{-x^3})=-3\,x^2\,e^{-x^2}\,dx$. Démonos cuenta de que delante del diferencial de la variable de integración, $dx$, ya está —casi— lo que tenemos en la función integrando; faltará hacer algún que otro ajuste. Vamos a ello:
$\displaystyle \int\,2x^2\,e^{-x^3}\,dx=$
  $\displaystyle =2\,\int\,x^2\,e^{-x^3}\,dx$
    $\displaystyle =2\,\int\,-\dfrac{1}{3}d\left(e^{-x^3}\right)\,dx$
      $\displaystyle =-\dfrac{2}{3}\,\int\,d\left(e^{-x^3}\right)\,dx$
        $\displaystyle =-\dfrac{2}{3}\,e^{-x^3}+C\,,\,\,\forall\,C\in \mathbb{R}.\diamond$

Acerca del determinante de una matriz (cuadrada) de tipo triangular

Una propiedad interesante sobre el determinante de una matriz triangular, ya sea ésta superior o bien inferior, es que su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Subrayemos el hecho de que si no utilizamos esta propiedad, el cálculo del determinante a partir del algoritmo general puede llevarnos mucho trabajo, cuánto más si el orden de la matriz es mayor que $2$. Notemos que si alguno de los elementos de la diagonal principal es nulo, el determinante es igual cero (no haría falta en tal caso hacer ningún cálculo). Veamos un par de ejemplos:

Ejemplo 1

Calculemos el determinante de la matriz $$A=\begin{pmatrix}2&144&-1&6 \\ 0&3&24&58 \\ 0&0&-5&128 \\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}$$ Observemos que se trata de una matriz triangular (triangular superior), entonces, tal y como se ha dicho arriba, basta multiplicar los elementos de la diagonal principal: $$\begin{vmatrix}2&144&-1&6 \\ 0&3&24&58 \\ 0&0&-5&128 \\ 0&0&0&-3 \end{vmatrix} = 2\cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-3) = 90$$

Ejemplo 2

Averigüemos si la siguiente matriz posee inversa $$B=\begin{pmatrix}6&0&0&0 \\ 14&2&0&0 \\ 121&-9&0&0 \\ 1264&6&137&45 \end{pmatrix}$$ Recordemos que una matriz cuadrada posee inversa (y en tal caso es única) si y sólo si es regular, y, por tanto, si y sólo si su determinante es distinto de cero. Observemos que se trata de una matriz triangular (triangular inferior), entonces, al igual que hemos hecho en el ejemplo anterior, para calcular el valor de su determinante basta multiplicar los elementos de la diagonal principal, y como uno de ellos es nulo, no hace falta realizar ninguna operación, pues el valor de dicho determinante ha de ser cero: $$\begin{vmatrix}6&0&0&0 \\ 14&2&0&0 \\ 121&-9&0&0 \\ 1264&6&137&45 \end{vmatrix} = 6\cdot 2 \cdot 0 \cdot 45 = 0$$ En consecuencia, la matriz $B$ no es regular, con lo cual podemos afirmar que no posee matriz inversa.

Integrales indefinidas

Resolvamos la siguiente integral indefinida (calculemos la familia de primitivas asociada a la función del integrando): $$\displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx$$ que es un interesante ejercicio para practicar, en este caso, el método de integración de por partes

Observemos que la función integrando, $x\,\ln(x)$, es el producto de dos funciones elementales bien distintas, lo cual nos lleva a decidirno por utilizar la técnica de integración por partes: $$\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int\,v\,du$$

Ensayemos la siguiente agrupación, $u:=x$ y $dv:=\ln(x)\,dx$. Entonces, $du=(x)'\,dx = 1\cdot dx=dx$ y $\displaystyle v=\int\,\ln(x)\,dx$; esta integral que nos permitirá conocer $v$, podemos integrarla a su vez empleando también el método de por partes, $\displaystyle \int t\,dw=t\,w-\int\,w\,dt$, mediante la siguiente agrupación: $t:=\ln(x) \therefore dt=(\ln(x))'\,dx=\dfrac{1}{x}\,dx$ y $dw:=dx \therefore w=x$, con lo cual $\displaystyle v=x\,\ln(x)-\int\,x\,\dfrac{1}{x}\,dx+\text{constante}=x\,\ln(x)-x+\text{constante}=x\,(\ln(x)-1)+\text{constante}$, pudiendo elegir cualquier valor para la constante de integración, que es arbitraria, pues nos basta con encontrar una primitiva; pongamos que le asignemos el valor cero, entonces dicha primitiva es $v=x\,(\ln(x)-1)$

Así las cosas, $\displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx=:\int u\,dv=u\,v-\int\,v\,du=x\,\left(x\,(\ln(x)-1)\right)-\int\,x\,(\ln(x)-1)\,dx=$
  $x^2\,(\ln(x)-1)-\int\,x\,\ln(x)\,dx+\int\,x\,dx = x^2\,(\ln(x)-1)-\int\,x\,\ln(x)\,dx+\dfrac{1}{2}\,x^2+\text{constante} \Rightarrow$
    $ \Rightarrow 2\,\int\,x\,\ln(x)\,dx = x^2\,(\ln(x)-1)+\dfrac{1}{2}\,x^2+\text{constante} \Rightarrow$
      $ \Rightarrow \int\,x\,\ln(x)\,dx = \dfrac{x^2}{2}\,(\ln(x)-1)+\dfrac{1}{4}\,x^2+C$
y compactando un poco las expresiones, $$ \displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx = \dfrac{x^2}{4}\,\left[2\,(\ln(x)-1)+1\right]+C=\dfrac{x^2}{4}\,\left[\ln(x^2)-2+1\right]+C=\dfrac{x^2}{4}\,\left[\ln(x^2)-1\right]+C\,,\,\forall C\in \mathbb{R}$$ siendo $C$ la constante (de valor arbitrario) de integración. $\diamond$

¿Qué son los elementos pivote de una matriz?

Dada una matriz $M$ de tamaño $m \times n$, se denomina pivote (de una cierta fila) al primer elemento distinto de cero de dicha fila. Este concepto es importante a la hora de leer los textos que hablan de la reducción de una matriz, para poder entenderlos bien. Así, por ejemplo, en la siguiente matriz, de tamaño $3 \times 4$, $A=\begin{pmatrix}0&0&2&-1\\ 4&-3&6&5 \\ 0 & 8 & 7 & -2\end{pmatrix}$, el pivote de la primera fila es $2$; el de la segunda fila es $4$ y el de la tercera es $8$.

Calculemos el rango de dicha matriz:

Recordemos que el rango de una matriz es el número de filas no identicamente nulas que quedan tras haber reducido por Gauss (escalonado) dicha matriz. Tengamos en cuenta que el rango de una matriz no se altera al cambiar el orden de las filas; así que, para escalonar una matriz, podemos ordenar las filas de manera que el pivote de la primera esté a la izquierda del de la segunda, y el de la segunda a la izquierda del de la tercera, siguiendo así en el caso de que hubiesen más filas; a continuación, procederíamos a realizar las combinaciones entre filas que permitiesen obtener los ceros por debajo de cada pivote (en las respectivas columnas). En el caso que nos ocupa, no hace falta hacer ninguna combinación entre filas: basta con cambiar la primera fila por la segunda, y, a continuación, la segunda por la tercera, con lo cual vemos que $\text{rango}(A)=\text{rango}\,\begin{pmatrix} 4&-3&6&5 \\ 0 & 8 & 7 & -2\\ 0&0&2&-1\end{pmatrix}=3$ ya que, habiendo quedado escalonada la matriz que nos ocupa, el número de filas no identicament nulas es $3$· $\diamond$

Un ejercicio de integración que parece difícil, pero sólo lo parece

(1) Ciertamente hay ejercicios de integración indefinida que, a primera vista, asustan, como por ejemplo, $\displaystyle \int\,x\,e^{ln\,x}\,dx$, pero mirándola bien, no es tan difícil. Veamos la razón de ello:

Teniendo en cuenta que la exponencial y el logaritmo son funciones mútuamente recíprocas, se tiene que $e^{\ln\,x}=x$, luego $\displaystyle \int\,x\,e^{ln\,x}\,dx=\int\,x\cdot x\,dx=\int\,x^2\,dx=\dfrac{1}{3}\,x^3+C.\,\diamond$

(2) Un poco más liosa es la siguiente integral, pero no ofrece muchas dificultades por la misma razón que la apuntada: $\displaystyle \int\,x\,2^{ln\,x}\,dx$

Observemos ahora que si llamamos $t:=2^{\ln\,x}$, sacando logaritmos neperianos en cada miembro, se tiene que $\ln\,t=\ln\,\left(2^{\ln\,x}\right)=\ln\,2 \cdot \ln\,x$, luego $t=e^{\ln\,2 \cdot \ln\,x}=\left( e^{\ln\,x}\right)^{\ln\,2}=\ln\,2\cdot e^{\ln\,x}=x\,\ln\,2$. Por consiguiente, $\displaystyle \int\,x\,2^{ln\,x}\,dx=\int (\ln\,2)\,x \cdot x\,dx=\dfrac{\ln\,2}{3}\,x^3+C.\,\diamond$