Un ejercicio de demostración por contradicción: << e no es un número racional >>

NOTA PRELIMINAR. El contenido de este ejercicio, que hace referencia a una bonita aplicación del Teorema de Taylor, y que no se contempla en el actual corriculum de Bachillerato [ a diferencia de la importancia que se le concedió en los años setenta y ochenta del pasado siglo, con buen acierto a mi entender ]. No obstante, creo que el tema bien merece un pequeño esfuerzo más, desde luego, a modo de ampliación, y que se enseñe a los estudiantes que voluntariamente lo acepten y que estén interesados en iniciar con buen pie estudios universitarios o incluso algún ciclo superior de formación profesional. El Teorema de Taylor, como un resultado de la aproximación de funciones, tiene muchas e importantes aplicaciones. Aquí veremos una, en la que lo utilizaremos para demostrar la irracionalidad del número $e$.

ENUNCIADO. Demuéstrese que $e$ es un número irracional.

SOLUCIÓN. Recordemos que el número $e=2,71828\ldots$, por tanto $2 \prec e \prec 3$. Vamos a demostrar que $e \notin \mathbb{Q}$ empleando el método de demostración por contradicción. Para ello haremos la hipótesis contraria a lo que queremos demostrar, esto es, supondremos que $e = \dfrac{a}{b}$, donde $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{Z}$, con $\text{m.c.d.}(\{a,b\})=1$, por ser $a/b$ una fracción irreducible.

En el desarrollo, haremos uso del teorema de Taylor, del que hablamos en [ 1 ]. Recordemos que un corolario de dicho teorema reza que si en la fórmula de Taylor hacemos $a:=0$ y $h:=x$ obtenemos la fórmula de Maclaurin con término complementario de Lagrange: $$\displaystyle f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{x^{i}\,f^{(i)}(0)}{i!}+E_n$$ donde $$E_n=\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\theta\,x)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 \quad \quad \quad (1)$$ en nuestro caso, entendemos por $f$ la función $f(x)=e^x$. Tomando $x:=1$, vemos que $$e=1+1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots+\dfrac{1}{n!}+E_n$$ y por la hipótesis de partida $$\dfrac{a}{b}=1+1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots+\dfrac{1}{n!}+E_n$$ multiplicando por $n!$ en ambos miembros de la igualdad llegamos a $$\dfrac{n!\, a}{b}=n!+n!+\dfrac{n!}{2!}+\dfrac{n!}{3!}+\ldots+\dfrac{n!}{n!}+n!\,E_n$$ Es claro que $$n!+n!+\dfrac{n!}{2!}+\dfrac{n!}{3!}+\ldots+\dfrac{n!}{n!} \in \mathbb{Z}$$ por lo que supondremos que si $b \succ n$ [ y, siendo además $n \succ 3$ ( para que $2 \prec e \prec 3$ ) ], entonces $\dfrac{n!\, a}{b} \in \mathbb{Z}$, y, por consiguiente, en estas condiciones tenemos que $$n!\,E_n \in \mathbb{Z} \quad \quad (2)$$ Así pues, teniendo en cuenta (1), podemos escribir (2) de la forma $$\mathbb{Z} \ni n!\,E_n=\dfrac{n!\,\left(\dfrac{d^n}{dx^n}\left( e^{\theta\,x}\right)\right)_{x:=1}}{(n+1)!}=\dfrac{n!\,e^{\theta}\,\theta^{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{e^{\theta}\,\theta^{n+1}}{n+1}$$ Para $\theta:=0$, esta expesión es igual a 0; y, para $\theta:=1$, es igual a $\dfrac{e}{n+1}$. Por consiguiente, podemos escribir: $$0 \prec \underset{\in \mathbb{Z}}{\underbrace{{\dfrac{e^{\theta}\,\theta^{n+1}}{n+1}}}} \prec \dfrac{e}{n+1}$$ Ahora bien, como hemos supuesto que $n \succ 3$ [ y recordando que $2 \prec e \prec 3$ ] deducimos que $e \prec n+1$, con lo cual $\dfrac{e}{n+1} \prec 1$, luego $$0 \prec \underset{\in \mathbb{Z}}{\underbrace{{\dfrac{e^{\theta}\,\theta^{n+1}}{n+1}}}} \prec 1$$ pero entre $0$ y $1$ no hay ningún número entero, luego hemos llegado a una contradicción, y, por tanto, debemos negar la hipótesis de partida ( << $e$ es un número racional >> ), concluyendo por tanto la demostración de lo que queríamos demostrar: $$e \notin \mathbb{Q}$$
$\square$