Ejemplo de cálculo de una integral indefinida por el método de por partes, que da lugar a una relación recursiva

ENUNCIADO. Calcúlese la integral indefinida $$\int\,\sin(\ln\,x)\,dx$$

SOLUCIÓN. Vamos a integrarla por el método de por partes. Recordemos que consiste en los siguiente: $$\int\,u\,dv=u\,v-\int\,v\,du \quad \quad (1)$$
Realizamos la siguiente asociación: $$u:=\sin\,(\ln\,x)\Rightarrow du=\dfrac{1}{x}\,\cos\,(\ln\,x)\,dx$$ $$dv:=dx \Rightarrow v=x$$ Entonces, por (1), podemos escribir:
$\displaystyle \int\,\sin(\ln\,x)\,dx=$
  $\displaystyle =\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)-\int\,\dfrac{1}{x}\cdot x\,\cos\,(\ln\,x)\,dx$
  $\displaystyle =\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)-\int\,\cos\,(\ln\,x)\,dx \quad \quad (2)$
La integral del segundo término del segundo miembro, $\displaystyle \int\,\cos\,(\ln\,x)\,dx$, es similar a la integral pedida, por lo que procedemos a calcularla empleando también el método de por partes, con la siguiente asociación: $$w:=\cos\,(\ln\,x)\Rightarrow du=-\dfrac{1}{x}\,\sin\,(\ln\,x)\,dx$$ $$dt:=dx \Rightarrow v=x$$ por lo que $$\int\,w\,dt=w\,t-\int\,t\,dw$$ y por tanto,
$\int\,\cos(\ln\,x)\,dx=$
  $\displaystyle =\int\,\cos(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)-\int\,\dfrac{1}{x}\cdot x\,(-\sin\,(\ln\,x))\,dx$
  $\displaystyle =\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\cos\,(\ln\,x)+\int\,\sin\,(\ln\,x)\,dx$
Sustituyendo este resultado en (2), llegamos a
$\displaystyle \int\,\sin(\ln\,x)\,dx=\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)-\left( x\,\cos\,(\ln\,x)+\int\,\sin\,(\ln\,x)\,dx \right)$
esto es,
$\displaystyle \int\,\sin(\ln\,x)\,dx=\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)- x\,\cos\,(\ln\,x)-\int\,\sin\,(\ln\,x)\,dx$
con lo cual,
$\displaystyle \int\,\sin(\ln\,x)\,dx+\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)- x\,\cos\,(\ln\,x)$
y por tanto
$\displaystyle 2\,\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)- x\,\cos\,(\ln\,x)$
luego
$\displaystyle \int\,\sin(\ln\,x)\,dx=\dfrac{x}{2}\,\left( \sin\,(\ln\,x)- \cos\,(\ln\,x) \right) + C$
$\square$