Una aplicación del cálculo integral a la determinación del trabajo mecánico realizado por una fuerza

ENUNCIADO. Una partícula se desplaza a lo largo del eje $Ox$ mediante una fuerza impulsora dada por $f(x)=x^2+1$. Calcular el trabajo ( energía ) necesario para desplazar dicha partícula desde la posición $x_i=1$ hasta $x_f=2$ a lo largo de una recta ( la longitud [ distancia con respecto al origen de coordenadas ] viene expresada en metros, $\text{m}$; la fuerza en newtons, $\text{N}$, y el trabajo ( energía ) en julios, $J$ )

SOLUCIÓN. Sabemos que el trabajo mecánico pedido viene dado por $$\displaystyle W|_{x_i \rightarrow x_f}=\int_{x_i}^{x_f}\,f(x)\,dx$$ Y, en el caso que nos ocupa,
$\displaystyle W|_{x_i:=1 \rightarrow x_f:=2}=\int_{1}^{2}\,(x^2+1)\,dx\overset{\text{una primitiva}:\; F(x)=\dfrac{1}{3}\,x^3+x}{=}\left[ \dfrac{1}{3}\,x^3+x\right]_{1}^{2} \overset{\text{Barrow}}{=}$
    $=\left(\dfrac{1}{3}\cdot 2^3+2\right)-\left(\dfrac{1}{3}\cdot 1^3+1\right)$
        $=\dfrac{10}{3}\,\text{J}$
$\square$