Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx$

Solución:
Utilizaremos en este caso la técnica de integración por partes
    $\int \, u\,dv = u\,v -\int\,v\,du$
Designando:
    $u=\arcsin{x} \Rightarrow du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$
    $dv=dx \Rightarrow v=x$
vemos que
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx=x\,\arcsin{x}-\int\,\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}} \quad \quad \quad (1)$
Calcularemos ahora la integral del segundo miembro, haciendo el cambio de variable $x=\sin{w} \Rightarrow dx=\cos{w}\,dw$, con lo cual
   
$\displaystyle \int\,\dfrac{x \,dx}{\sqrt{1-x^2}}= \int \,\dfrac{\sin{w}\,\cos{w}\,dw}{\sqrt{1-\sin^2 \,w}}= \int\,\dfrac{\sin{w}\,\cos{w}\,dw}{\cos{w}}=\int\,\sin{w}\,dw$
        $=-\cos{w}+k_1 = \{\text{deshaciendo el cambio}\}=-\sqrt{1-x^2}+k_2$
Y, sustituyendo este resultado en (1), llegamos a
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx=x\,\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2\,2^x}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2\,2^x}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $2^{x}=t \Rightarrow dt=\ln\,2\cdot 2^x\,dx$
por tanto la integral pedida se transforma en
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2 \,2^x}=\frac{1}{\ln\,2} \,\int\,\dfrac{dt}{\cos^2\,t}=\dfrac{1}{\ln \,2} \, \tan{t}+k$
Deshaciendo, finalmente, el cambio de variable
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x} \,dx}{ \cos^2 \,2^x}= \dfrac{1}{\ln \,2} \, \tan {2^x}+C$

$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $e^{2x}=t \Rightarrow dt=2\,e^{2x}\,dx$
luego podemos escribir la integral de la forma
    $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}=\frac{5}{2}\,\int\,\dfrac{dt}{7-3\,t}=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{(-3)}\,\int\,\dfrac{-3\,dt}{7-3\,t}=-\frac{5}{6}\,\ln{(7-3\,t)}+k$
Deshaciendo, finalmente, el cambio de variable
    $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}=-\frac{5}{6}\,\ln{(7-3\,e^{2x})}+C$

$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $e^x=t \Rightarrow dt=e^x\,dx$
podemos escribir
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}$
y, a su vez, con éste otro cambio, $1+t=u^2 \Rightarrow dt=2\,u\,du$, llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}=\int\,\dfrac{2\,u\,du}{u}=2\,\int\,du=2\,u+k_1$
Deshaciendo ahora los cambios por orden inverso
    $2\,u+k_1=2\,\sqrt{1+t}+k_2=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
vemos que
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Solución:
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\int \, \dfrac{\frac{1}{9}\,dx }{\big(\frac{x}{3}\big)^2+1}$
y haciendo el cambio de variable
    $\dfrac{x}{3}=t \Rightarrow dx=3\,dt$
obtenemos
    $\displaystyle \frac{1}{3}\,\arctan{t}+k$
deshaciendo finalmente el cambio de variable llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\frac{1}{3}\,\arctan{\frac{x}{3}}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}$

Enunciado:
Se trata de una integral semi inmediata; en efecte, mediante el cambio de variable
    $x^2+1=t$
tenemos que
    $dt=2\,x\,dx$
por lo que la integral objetivo se transforma en
    $\displaystyle \int \dfrac{dt}{\sin^2 t}$
cuya familia de primitivas es
    $-\dfrac{1}{\tan{t}}+k$
y, deshaciendo el cambio, queda
    $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}=-\dfrac{1}{\tan{(x^2+1)}}+C$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida

Enunciado:
Calcular la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+x+1}\,dx$

Solución:
La función del integrando es de tipo racional y su polinomio tiene raíces complejas, con lo cual no podemos descomponer la función
    $\dfrac{1}{x^2+x+1}$
en suma de funciones racionales, que sería la vía estándar a seguir.
Esto nos lleva a probar otro camino de resolución alternativo, que es el siguiente. Podemos expresar el polinomio del denominador de la fracción racional del integrando de la siguiente forma
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2-\dfrac{1}{4}+1$
que es igual a
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}$
luego la función del integrando se puede escribir de la forma
    $\dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}$
y, por tanto, la integral objetivo es igual a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}\,dx$
y haciendo el cambio de variable
    $x+\dfrac{1}{2}= t$
llegamos a
    $\displaystyle \int \, \frac{1}{t^2+\dfrac{3}{4}}\,dt=\int \, \dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\,t^2+\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}}\,dt=\frac{4}{3}\,\int \, \dfrac{1}{\big(\frac{2\,t}{\sqrt{3}}\big)^2+1} \,dt$
y, a su vez, haciendo un segundo cambio
    $w=\frac{2\,t}{\sqrt{3}}$
nos queda
    $\displaystyle \frac{4}{3}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\int \, \dfrac{1}{w^2+1} \,dw$
que es igual a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,w+C_1$
Habiendo resuelto ya el problema de integración, procedemos ahora a deshacer los cambios de variable por orden inverso a los pasos realizados, llegando a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,t}{\sqrt{3}} +C_2$
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,(x+\frac{1}{2}}{\sqrt{3}} +C$
es decir
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}} +C$
que es igual a la familia de primitivas de la función del integrando.
$\square$

[nota del autor]