Espacio vectorial. Cálculo de vectores que cumplen un conjunto de condiciones

Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones

ENUNCIADO. Tres comerciantes adquieren ordenadores de tres modelos distintos, A, B y C, para su posterior venta. El primero invierte 50000 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo C; el segundo comerciante invierte 12500 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 12500 euros en la compra de ordenadores del modelo C; y, el tercer comerciante invierte 10000 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 10000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 20000 euros en la compra de ordenadores del modelo C. Las rentabilidades que obtienen los tres comerciantes tras la venta de los ordenadores que han adquirido son: el primero un 15%, el segundo un 12% y el tercero un 10%. Calcular las rentabilidades de los modelos de ordenador.

SOLUCIÓN.

La rentabilidad se define como la razón entre los beneficios obtenidos y la inversión realizada, expresándose en tanto por ciento.

Denotemos por $-A$, $r_B$ y $r_C$ las rentabilidades correspondientes a los tres modelos de ordenadores, A, B y C. De acuerdo con la información del enunciado y el significado de rentabilidad, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\left.\begin{matrix}50000\,r_A+25000\,r_B+25000\,r_C=\dfrac{15}{100}\cdot ( 50000+25000+25000) \\ 12500\,r_A+25000\,r_B+12500\,r_C=\dfrac{12}{100}\cdot ( 12500+25000+12500)\\ 10000\,r_A+10000\,r_B+20000\,r_C=\dfrac{10}{100}\cdot ( 10000+10000+20000)\end{matrix}\right\}$

que es compatible determinado. Resolviéndolo obtenemos los siguientes resultados: $$\left.\begin{matrix}r_A=23\,\%\\r_B=11\,\%\\ r_C=3\,\%\end{matrix}\right\}$$
$\square$

Aplicación del desarrollo de Laplace para calcular un determinante de orden arbitrario. Ejemplo con un determinante de orden 4

Resolución de una ecuación con matrices

Discusión del rango de una matriz en función de un parámetro

Matriz inversa asociada a una matriz regular

Matrices idempotentes

Propiedades de los determinantes. Determinante de la matriz inversa.

ENUNCIADO. Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ regular ( inversible ). Demuéstrese que $$\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$$
SOLUCIÓN. Sabemos que $I=AA^{-1}=A^{-1}A$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $n$. Por otra parte, es sabido que dadas dos matrices cuadradas de orden $n$, $A$ y $B$, $\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$. Entonces, $1=\text{det}(I)=\text{det}(AA^{-1})=\text{det}(A)\text{det}(A^{-1})$, luego $\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$
$\square$

Cálculo del rango de una matriz m x n por el método de los menores complementarios y aplicación del algoritmo del orlado

Más propiedades de los determinantes ...

Si $A$ y $B$ son dos matrices cuadradas del mismo orden $n$ se cumplen las siguientes propiedades, cuya comprobación es sencilla con algunos ejemplos. Demostrar la última, es muy sencillo, pues basta encontrar un contraejemplo:

Una propiedad de los determinantes

Ejemplo:
$\begin{vmatrix}5 & 3 \\ 4 & 6\end{vmatrix}\overset{?}{=}\begin{vmatrix}4+1 & 3 \\ 2+2 & 6\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4 & 3 \\ 2 & 6\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 & 6\end{vmatrix}=(24-6)+(6-6)=18$
En efecto,
$\begin{vmatrix}5 & 3 \\ 4 & 6\end{vmatrix}=30-12=18$

Nota: También se cumple con las columnas

Cálculo de determinantes aplicando el desarrollo de Laplace

Cálculo de determinantes ( de orden 2 y 3 ) aplicando la regla de Sarrus

Aproximación al concepto de determinante. Determinante de orden 3 asociado a una matriz cuadrada de orden 3.

Aproximación al concepto de determinante. Determinantes de orden 2 y sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas compatibles determinados