Simetría de un punto con respecto a un plano

ENUNCIADO. Calcular las coordenadas del punto simétrico de $P(1,1,1)$ con respecto del plano $\pi\equiv x+y+z-1=0$

SOLUCIÓN. Denotemos por $P'$ al punto simétrico de $P$ con respecto de $\pi$. Sea la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$ e $I$ el punto de intersección de $r$ y $\pi$. Entonces $\text{distancia}(P,I)=\text{distancia}(I,P')$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI} \quad \quad (1)$

Un vector en la dirección de la recta $r$ que es perpendicular al plano $\pi$ es $\vec{u}:=\vec{n}$, donde $\vec{n}=(1,1,1)$ es el vector característico del plano $\pi$, que deducimos de la ecuación general del mismo ( cuyos coeficientes $A,B$ y $C$ son $A=B=C=1$ ). Veamos la ecuación en forma continua de la recta $r$, que pasa por $P(1,1,1)$ $$r\equiv \dfrac{x-x_{P}}{u_1}=\dfrac{y-y_{P}}{u_2}=\dfrac{z-z_{P}}{u_3}$$ que, con los datos, se concreta en $$r\equiv \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$$

Las coordenas de $I = \pi \cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ x-1=y-1 \\ x-1=z-1\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ x=y \\ x=z\end{matrix}\right.$$ con lo cual $x=y=z=\dfrac{1}{3}$. Entonces, de (1) podemos escribir
$$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-x_{P}=2\,(x_{I}-x_{P}) \\ y_{P'}-y_{P}=2\,(y_{I}-y_{P})\\ z_{P'}-z_{P}=2\,(z_{I}-z_{P}) \end{matrix}\right.$$ y con los datos del problema $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \\ y_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \\ z_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{P'}=-1/3 \\ y_{P'}=-1/3 \\ z_{P'}=-1/3 \end{matrix}\right.$$ por lo que el punto pedido es $P'(-1/3,-1/3,-1/3)$

$\square$