Punto simétrico de un cierto punto con respecto de una recta dada

ENUNCIADO. Calcular las coordenadas del punto simétrico de $P(1,2,3)$ con respecto de la recta $r\equiv x=y=z$

SOLUCIÓN. Denotemos por $P'$ al punto simétrico de $P$. Sea la recta $s$ perpendicular a $r$ que pasa por $P$ e $I$ el punto de intersección de $s$ y $r$. Entonces $\text{distancia}(P,I)=\text{distancia}(I,P')$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI} \quad \quad (1)$

La recta $s$ está contenida en un plano $\pi$, que ha de ser perpendicular a $r$. Veamos la ecuación general de dicho plano: Un vector característico de $\pi$ es $\vec{n}:=\vec{u}=(1,1,1)$ donde $\vec{u}$ es un vector que tiene la dirección de $r$, en consecuencia $\pi\equiv 1\cdot x+ 1\cdot y + 1 \cdot z+D=0$, y como $P(1,2,3)$ está en $\pi$ ( por estar en $s$ ), ha de cumplirse que $1+1+1+D=0 \Rightarrow D=-3$; así pues $\pi \equiv x+y+z-3=0$

Las coordenas de $I = \pi \cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3 \\ x=y \\ x=z\end{matrix}\right.$$ con lo cual $x=y=z=1$. Entonces, de (1) podemos escribir
$$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-x_{P}=2\,(x_{I}-x_{P}) \\ y_{P'}-y_{P}=2\,(y_{I}-y_{P})\\ z_{P'}-z_{P}=2\,(z_{I}-z_{P}) \end{matrix}\right.$$ y con los datos del problema $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-1=2\cdot (1-1) \\ y_{P'}-2=2\cdot (1-2) \\ z_{P'}-3=2\cdot (1-3) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{P'}=1 \\ y_{P'}=0 \\ z_{P'}=-1 \end{matrix}\right.$$ por lo que el punto pedido es $P'(1,0,-1)$

$\square$