Enunciado:
Resolver la integral indefinida
$\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}$
Solución:
La función integrando
$f(x)=\dfrac{1}{x^2+x}$
es una función racional, que, habiéndo factoritzado su denominador, puede escribirse de la forma
$\dfrac{1}{x\,(x+1)}$
y es, por tanto, del tipus
$\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}$
luego se puede expresar como una suma de fraccions
$\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{m}{x+a}+\dfrac{n}{x+b}$
Reduciendo a común denominador la expresión del segundo miembro, llegamos a
$\dfrac{m\,(x+b)+n\,(x+a)}{(x+a)(x+b)}$
y, operando el numerador, nos queda
$\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
es decir
$\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
igualando, ahora, los coeficients de los términos del mismo grado entre ambos miembros de la igualdad, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
$\left.\begin{matrix} m\,b &+&n\,a&=&1 \\ m & +&n&=&0 \end{matrix}\right\}$
y, resolviéndolo, vemos que
$m=\dfrac{1}{b-a}$
i
$n=\dfrac{1}{a-b}$
En nuestro caso, tenemos que $b=0$ i $a=1$, por lo que encontramos la solución: $m=1$ y $n=-1$
Entonces
$\dfrac{1}{x\,(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$
y podremos escribir
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx-\int \dfrac{1}{x+1}\,dx$
cualculando las integrales inmediatas
$\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|x\right|}-\ln{\left|x+1\right|}+C$
que, por las propiedades de los logaritmos, también podemos expresar así
$\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$
Nota: $C$, que puede ser cualquier número real, representa la constante de integración, o constante de la familia de funciones primitivas de la función del del integrando
$F(x)=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$
$\square$
