Matrices ortogonales

ENUNCIADO. Se dice que una matriz cuadrada invertible ( no singular ) es ortogonal si su traspuesta coincide con su inversa. Compruébese que la matriz $$A=\begin{pmatrix}\sin{\alpha}&\cos{\alpha} \\ -\cos{\alpha} & \sin{\alpha}\end{pmatrix}$$

SOLUCIÓN. La matriz traspuesta de $A$ es $A^{\top}=\begin{pmatrix}\sin{\alpha}&-\cos{\alpha} \\ \cos{\alpha} & \sin{\alpha}\end{pmatrix}$. Basta comprobar que $AA^{\top}=I=A^{\top}A$; en efecto,

$A\,A^{\top}=\begin{pmatrix}\sin{\alpha}&\cos{\alpha} \\ -\cos{\alpha} & \sin{\alpha}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sin{\alpha}&-\cos{\alpha} \\ \cos{\alpha} & \sin{\alpha}\end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix}\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}&\sin{\alpha}\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\\sin{\alpha}\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\cos{\alpha} & \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0 & 1\end{pmatrix}$
$\square$