I) Si $\text{grado}(P(x)) \prec \text{grado}(Q(x))$ ( la fracción $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ es propia ) distinguiremos entre los siguientes casos:
a) Para cada factor de la forma $(ax+b)^n$ de $Q(x)$, la fracción algebraica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ se descompone en una suma de $n$ fracciones más simples: $$\dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+\ldots+\dfrac{A_1}{(ax+b)^n}$$
EJEMPLO. Calcúlese la integral indefinida $$\int \dfrac{x+1}{x^3-3x+2}\,dx$$
Procedamos a descomponer la fracción algebraica del integrando ( que es propia ) en suma de fracciones más sencillas. Para ello, hay que factorizar el polinomio del denominador. Fácilmente, llegamos a
$$x^3-3x+2=(x+2)(x-1)^2$$
Entonces, $$\dfrac{x+1}{x^3-3x+2}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^2} \quad \quad (1)$$ Reduciendo a común denominador los términos del segundo miembro, vemos que éste es igual a $$A(x-19^2+B(x+2)(x-1)+C(x+2)$$ y para que se cumpla (1) se tiene que $$x+1=A(x-19^2+B(x+2)(x-1)+C(x+2)$$ así que, una vez agrupados los términos semejantes, igualando los coeficientes de los términos del mismo grado de sendos miembros se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}A+B=0\\ -2A+B+C=1 \\ A-2B+2C=1\end{matrix}\right.$$ Resolviéndolo, encontramos los valores de los coeficientes $A,B$ y $C$:
$$A=-1/9, B=1/9, C=2/3$$
Por consiguiente, $$\int \dfrac{x+1}{x^3-3x+2}\,dx=-\dfrac{1}{9}\,\int\,\dfrac{dx}{x+2}+\dfrac{1}{9}\,\int\,\dfrac{dx}{x-1}+\dfrac{2}{3}\,\int\,\dfrac{dx}{(x-1
)^2}=$$
$$=-\dfrac{1}{9}\cdot \ln\,|x+2|+\dfrac{1}{9}\cdot \ln\,|x-1|-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{x-1
}=$$ $$=\dfrac{1}{9}\cdot \ln\,\left|\dfrac{x-1}{x+2}\right|-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{x-1
}$$
b) Para cada factor de la forma $(ax^2+bx+c)^m$ de $Q(x)$, la fracción algebraica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ se descompone en una suma de $m$ fracciones más simples: $$\dfrac{M_1\,x+N_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{M_2\,x+N_2}{(ax^2+bx+c)^2}+\ldots+\dfrac{M_m\,x+N_m}{(ax^2+bx+c)^m}$$
EJEMPLO. Calcúlese la integral indefinida $$\int \dfrac{x^2+2}{x^3-1}\,dx$$
Procedamos a descomponer la fracción algebraica del integrando ( que es propia ) en suma de fracciones más sencillas. Para ello, hay que factorizar el polinomio del denominador. Sin dificultad, llegamos a
$$x^3-1=(x-1)\,(x^2+x+1)$$
Entonces, $$\dfrac{x^2+2}{x^3-1}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Mx+N}{x^2+x+1}\quad \quad (1)$$ Reduciendo a común denominador los términos del segundo miembro, vemos que éste es igual a $$A(x^2+x+1)+(Mx+N)(x-1)$$ y para que se cumpla (1) se tiene que $$x^2+2=(A+M)\,x^2+(A-M+N)\,x+(A-N)$$ así que, una vez agrupados los términos semejantes, igualando los coeficientes de los términos del mismo grado de sendos miembros se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}A+M=1\\ A-M+N=0 \\ A-N=2\end{matrix}\right.$$ Resolviéndolo, encontramos los valores de los coeficientes $A,M$ y $N$:
$$A=1, M=0, N=-1$$
Por consiguiente, $$\int \dfrac{x^2+2}{x^3-1}\,dx=\int\,\dfrac{dx}{x-1}-\int\,\dfrac{dx}{x^2+x+1}=$$
$$=\ln\,|x-1|- \dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}+C$$
Nota: la segunda integral del segundo miembro la resolvimos ya en [este otro ejercicio].
c) ( Ampliación ) En el caso de que el polinomio $Q(x)$ tenga raíces complejas múltiples, también se puede utilizar el método de Hermite-Ostrogradski: $$\int\,\dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx=\dfrac{P_1(x)}{Q_{1}(x)}+\int\,\dfrac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}\,dx \quad \quad (1)$$ donde $Q_{1}(x)=\text{m.c.d}(\{Q(x),Q'(x)\})$ y $Q_2(x)=\dfrac{Q(x)}{Q_{1}(x)}$; y, los polinomios $P_{1}(x)$ y $P_{2}(x)$ son de $1$ grado menor que sus denominadores $P_{1}(x)$ y $P_{2}(x)$, obteniendo sus coeficientes a partir de la derivación de la igualdad, realizando la suma de fracciones e igualando los coeficientes de los polinomios numeradores. (1)
EJEMPLO:
Nos proponemos calcular la integral $\int \dfrac{dx}{(x^2+3)^2}$ por el método de Hermite. Entonces, $P(x)=1$ y $Q(x)=(x^2+3)^2$
i) Calculamos $Q'(x)$:
$Q'(x)=\left( (x^2+3)^2\right)'=4x(x^2+3)$
ii) $Q_{1}(x)=\text{m.c.d}(\{Q(x),Q'(x)\})=x^2+3$ así que, como $\text{grado}(Q_{1}(x))=2$, el grado de $P_{1}(x)$ ha de ser $1$, luego $P_{1}(x)=ax+b$
iii) $Q_{2}(x)=\dfrac{Q(x)}{Q_{1}(x)}$, se tiene que $Q_{2}(x)=\dfrac{(x^2+3)^2}{x^2+3}=x^2+3$, luego $P_{2}(x)$ ha de ser $1$ grado menor, y por tanto, $P_{1}(x)=cx+d$
De todo ello, según (1), resulta que
$$\int \dfrac{dx}{(x^2+3)^2}=\dfrac{ax+b}{x^2+3}+\int \dfrac{cx+d}{x^2+3} \quad \quad (2)$$
iv) Determinemos ahora los coeficientes $a,b,c$ y $d$, para lo cual derivamos (2) en ambos miembros, obteniendo:
$$\dfrac{1}{(x^2+3)^2}=\dfrac{3zx^2+2bx+3a}{(x^2+3)^2}+\dfrac{cx+d}{x^2+3}$$
y de ello deducimos que $$1=cx^3+(3a+d)x^2+(2b+3c)x+(3a+3d)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\3a+d=0\\2b+3c=0\\3a+3d=1\end{matrix}\right.$$ y resolviendo este sistema de ecuaciones encontramos $$b=c=0,a=-\dfrac{1}{6}, d=\dfrac{1}{2}$$
Por consiguiente, de (2), obtenemos $$\int \dfrac{dx}{(x^2+3)^2}=-\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{x}{x^2+3}+\dfrac{1}{2}\,\int \dfrac{dx}{x^2+3}$$ siendo la segunda integral ( del segundo miembro ) semi inmediata $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{x^2+3}=\dfrac{1}{3}\,\int \dfrac{dx}{(x/\sqrt{3})^2+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,\arctan\,\dfrac{x}{\sqrt{3}}+C$$
con lo cual $$\int \dfrac{dx}{(x^2+3)^2}=-\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{x}{x^2+3}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\,\arctan\,\dfrac{x}{\sqrt{3}}+C$$
II) Si $\text{grado}(P(x)) \ge\text{grado}(Q(x))$ hay que realizar la división $P(x)\div Q(x)$ para expresar la fracción impropia $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ de la forma $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}$ -- donde, lógicamente, $\text{grado}(R(x)\prec \text{grado}(Q(x)$ -- y proceder como (I), para integrar la fracción propia.
Referencias:
M. L. Calle, R. Vendrel, Problemes d'àlgebra lineal i càlcul infinitesimal, Eumo Editorial, Barcelona, 1992
N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simon, S.A., Barcelona, 1978
