lunes, 18 de diciembre de 2017
domingo, 17 de diciembre de 2017
sábado, 16 de diciembre de 2017
Simétrico de un punto con respecto a otro punto dado
ENUNCIADO. Calcúlense las coordenadas del punto simétrico del punto $P(-1,2,-1)$ con respecto del punto $C(1,2,-3)$
SOLUCIÓN. Denotemospor $P'$ al apunto pedido. Dicho punto está alineado con los puntos $P$ y $C$ y es tal que $\text{dist}(P',C)=\text{dist}(C,P)$, luego $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PC}$, en consecuencia $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-x_{P}=2\cdot ( x_{C}-x_{P}) \\ y_{P'}-y_{P}=2\cdot ( y_{C}-y_{P}) \\ z_{P'}-z_{P}=2\cdot ( z_{C}-z_{P})\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-(-1)&=&2\cdot ( 1-(-1)) \\ y_{P'}-2&=&2\cdot ( 2-2) \\ z_{P'}-(-1)&=&2\cdot ( -3-(-1))\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x_{P'}+1&=&4 \\ y_{P'}-2&=&0 \\ z_{P'}+1&=&-4\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x_{P'}&=&3 \\ y_{P'}&=&2 \\ z_{P'}&=&-5\end{matrix}\right.$$ luego el punto pedido es $P'(3,2,-5)$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemospor $P'$ al apunto pedido. Dicho punto está alineado con los puntos $P$ y $C$ y es tal que $\text{dist}(P',C)=\text{dist}(C,P)$, luego $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PC}$, en consecuencia $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-x_{P}=2\cdot ( x_{C}-x_{P}) \\ y_{P'}-y_{P}=2\cdot ( y_{C}-y_{P}) \\ z_{P'}-z_{P}=2\cdot ( z_{C}-z_{P})\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-(-1)&=&2\cdot ( 1-(-1)) \\ y_{P'}-2&=&2\cdot ( 2-2) \\ z_{P'}-(-1)&=&2\cdot ( -3-(-1))\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x_{P'}+1&=&4 \\ y_{P'}-2&=&0 \\ z_{P'}+1&=&-4\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x_{P'}&=&3 \\ y_{P'}&=&2 \\ z_{P'}&=&-5\end{matrix}\right.$$ luego el punto pedido es $P'(3,2,-5)$
$\square$
viernes, 15 de diciembre de 2017
Simetría de un punto con respecto a un plano
ENUNCIADO. Calcular las coordenadas del punto simétrico de $P(1,1,1)$ con respecto del plano $\pi\equiv x+y+z-1=0$
SOLUCIÓN. Denotemos por $P'$ al punto simétrico de $P$ con respecto de $\pi$. Sea la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$ e $I$ el punto de intersección de $r$ y $\pi$. Entonces $\text{distancia}(P,I)=\text{distancia}(I,P')$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI} \quad \quad (1)$
Un vector en la dirección de la recta $r$ que es perpendicular al plano $\pi$ es $\vec{u}:=\vec{n}$, donde $\vec{n}=(1,1,1)$ es el vector característico del plano $\pi$, que deducimos de la ecuación general del mismo ( cuyos coeficientes $A,B$ y $C$ son $A=B=C=1$ ). Veamos la ecuación en forma continua de la recta $r$, que pasa por $P(1,1,1)$ $$r\equiv \dfrac{x-x_{P}}{u_1}=\dfrac{y-y_{P}}{u_2}=\dfrac{z-z_{P}}{u_3}$$ que, con los datos, se concreta en $$r\equiv \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$$
Las coordenas de $I = \pi \cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ x-1=y-1 \\ x-1=z-1\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ x=y \\ x=z\end{matrix}\right.$$ con lo cual $x=y=z=\dfrac{1}{3}$. Entonces, de (1) podemos escribir
$$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-x_{P}=2\,(x_{I}-x_{P}) \\ y_{P'}-y_{P}=2\,(y_{I}-y_{P})\\ z_{P'}-z_{P}=2\,(z_{I}-z_{P}) \end{matrix}\right.$$ y con los datos del problema $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \\ y_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \\ z_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{P'}=-1/3 \\ y_{P'}=-1/3 \\ z_{P'}=-1/3 \end{matrix}\right. $$ por lo que el punto pedido es $P'(-1/3,-1/3,-1/3)$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $P'$ al punto simétrico de $P$ con respecto de $\pi$. Sea la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$ e $I$ el punto de intersección de $r$ y $\pi$. Entonces $\text{distancia}(P,I)=\text{distancia}(I,P')$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI} \quad \quad (1)$
Un vector en la dirección de la recta $r$ que es perpendicular al plano $\pi$ es $\vec{u}:=\vec{n}$, donde $\vec{n}=(1,1,1)$ es el vector característico del plano $\pi$, que deducimos de la ecuación general del mismo ( cuyos coeficientes $A,B$ y $C$ son $A=B=C=1$ ). Veamos la ecuación en forma continua de la recta $r$, que pasa por $P(1,1,1)$ $$r\equiv \dfrac{x-x_{P}}{u_1}=\dfrac{y-y_{P}}{u_2}=\dfrac{z-z_{P}}{u_3}$$ que, con los datos, se concreta en $$r\equiv \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$$
Las coordenas de $I = \pi \cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ x-1=y-1 \\ x-1=z-1\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ x=y \\ x=z\end{matrix}\right.$$ con lo cual $x=y=z=\dfrac{1}{3}$. Entonces, de (1) podemos escribir
$$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-x_{P}=2\,(x_{I}-x_{P}) \\ y_{P'}-y_{P}=2\,(y_{I}-y_{P})\\ z_{P'}-z_{P}=2\,(z_{I}-z_{P}) \end{matrix}\right.$$ y con los datos del problema $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \\ y_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \\ z_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{P'}=-1/3 \\ y_{P'}=-1/3 \\ z_{P'}=-1/3 \end{matrix}\right. $$ por lo que el punto pedido es $P'(-1/3,-1/3,-1/3)$
$\square$
Punto simétrico de un cierto punto con respecto de una recta dada
ENUNCIADO. Calcular las coordenadas del punto simétrico de $P(1,2,3)$ con respecto de la recta $r\equiv x=y=z$
SOLUCIÓN. Denotemos por $P'$ al punto simétrico de $P$. Sea la recta $s$ perpendicular a $r$ que pasa por $P$ e $I$ el punto de intersección de $s$ y $r$. Entonces $\text{distancia}(P,I)=\text{distancia}(I,P')$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI} \quad \quad (1)$
La recta $s$ está contenida en un plano $\pi$, que ha de ser perpendicular a $r$. Veamos la ecuación general de dicho plano: Un vector característico de $\pi$ es $\vec{n}:=\vec{u}=(1,1,1)$ donde $\vec{u}$ es un vector que tiene la dirección de $r$, en consecuencia $\pi\equiv 1\cdot x+ 1\cdot y + 1 \cdot z+D=0$, y como $P(1,2,3)$ está en $\pi$ ( por estar en $s$ ), ha de cumplirse que $1+1+1+D=0 \Rightarrow D=-3$; así pues $\pi \equiv x+y+z-3=0$
Las coordenas de $I = \pi \cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3 \\ x=y \\ x=z\end{matrix}\right.$$ con lo cual $x=y=z=1$. Entonces, de (1) podemos escribir
$$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-x_{P}=2\,(x_{I}-x_{P}) \\ y_{P'}-y_{P}=2\,(y_{I}-y_{P})\\ z_{P'}-z_{P}=2\,(z_{I}-z_{P}) \end{matrix}\right.$$ y con los datos del problema $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-1=2\cdot (1-1) \\ y_{P'}-2=2\cdot (1-2) \\ z_{P'}-3=2\cdot (1-3) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{P'}=1 \\ y_{P'}=0 \\ z_{P'}=-1 \end{matrix}\right. $$ por lo que el punto pedido es $P'(1,0,-1)$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $P'$ al punto simétrico de $P$. Sea la recta $s$ perpendicular a $r$ que pasa por $P$ e $I$ el punto de intersección de $s$ y $r$. Entonces $\text{distancia}(P,I)=\text{distancia}(I,P')$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI} \quad \quad (1)$
La recta $s$ está contenida en un plano $\pi$, que ha de ser perpendicular a $r$. Veamos la ecuación general de dicho plano: Un vector característico de $\pi$ es $\vec{n}:=\vec{u}=(1,1,1)$ donde $\vec{u}$ es un vector que tiene la dirección de $r$, en consecuencia $\pi\equiv 1\cdot x+ 1\cdot y + 1 \cdot z+D=0$, y como $P(1,2,3)$ está en $\pi$ ( por estar en $s$ ), ha de cumplirse que $1+1+1+D=0 \Rightarrow D=-3$; así pues $\pi \equiv x+y+z-3=0$
Las coordenas de $I = \pi \cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3 \\ x=y \\ x=z\end{matrix}\right.$$ con lo cual $x=y=z=1$. Entonces, de (1) podemos escribir
$$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-x_{P}=2\,(x_{I}-x_{P}) \\ y_{P'}-y_{P}=2\,(y_{I}-y_{P})\\ z_{P'}-z_{P}=2\,(z_{I}-z_{P}) \end{matrix}\right.$$ y con los datos del problema $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-1=2\cdot (1-1) \\ y_{P'}-2=2\cdot (1-2) \\ z_{P'}-3=2\cdot (1-3) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{P'}=1 \\ y_{P'}=0 \\ z_{P'}=-1 \end{matrix}\right. $$ por lo que el punto pedido es $P'(1,0,-1)$
$\square$
jueves, 14 de diciembre de 2017
Recta que corta perpendicularmente a dos rectas que se cruzan
ENUNCIADO. Sean las rectas $$r\equiv x-1 = y-2=\dfrac{z-1}{-2}$$ y $$s\equiv \dfrac{x-4}{-1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z}{2}$$ Determínese, si es posible, la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$
SOLUCIÓN. Si las dos rectas dadas son secantes, no puede encontrarse una recta que las corte perpendicularmente, salvo si dichas rectas son perpendiculares, en cuyo caso la recta pedida es cualquiera de las dos. Si las rectas son paralelas no coincidentes, hay infinitas rectas que las cortan y son perpendiculares a ambas. Por otra parte, si dichas rectas se cruzan, hay una sola recta que las corte y sea perpendicular a esas dos rectas dadas, que es el caso de las rectas del enunciado; en efecto, un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}=(1,1,-2)$ y un punto de dicha recta es $A(1,2,1)$; un vector en la dirección de $s$ es $\vec{v}=(-1,3,2)$ y un punto de esa recta es $B(4,-1,0)$, entonces $\text{rango}(\{\vec{u}\,,\,\vec{v}\,\,\overset{\rightarrow}{AB}\})=3$ ya que $$\begin{vmatrix}1&1&-2 \\ -1& 3 & 2 \\ 4-1 & -1-2 & 0-1\end{vmatrix} \neq 0$$ luego al ser los tres vectores linealmente independientes $r$ y $s$ se cruzan.
Así pues, como las rectas $r$ y $s$ se cruzan, existe una y sólo una recta, a la que denotamos por $t$, que corta perpendicularmente a las dos. Procedemos a encontrarla.
Desde luego, un vector $\vec{n}$ en la dirección de $t$ ha de ser perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$, por lo que podemos tomar $$\vec{n}:=\vec{u} \times \vec{v} \overset{\text{def}}{=} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & 2\end{vmatrix}=8\,\vec{i}+4\,\vec{k}=(8,0,4)$$ Además, este vector $\vec{n}$, es paralelo al plano $\pi$ que contiene a $r$, y, también, al plano $\pi'$ que contiene a $s$. Y es claro que la recta pedida $t$ es la intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$. Vamos pues a determinar las ecuaciones de estos dos planos; una vez obtenidas, la recta $t$ tendrá como ecuaciones implícitas estas dos ecuaciones.
El plano $\pi$ que contiene a $r$ viene caracterizado por $(\vec{u}\,,\,\vec{n}\,;\,A)$ con lo cual $$\pi \left\{\begin{matrix}x-x_A=\lambda\,u_1+\mu\, n_1 \\ y-y_A=\lambda\,u_2+\mu\, n_2 \\ z-z_A=\lambda\,u_3+\mu\, n_3 \end{matrix}\right.$$ y teniendo en cuenta que $$\text{rango}\begin{pmatrix}x-x_A & u_1 & n_1 \\ y-y_A & u_2 & n_2 \\ z-z_A & u_3 & n_3 \end{pmatrix}=2$$ y por tanto $$\pi \equiv \begin{vmatrix}x-x_A & u_1 & n_1 \\ y-y_A & u_2 & n_2 \\ z-z_A & u_3 & n_3 \end{vmatrix}$$ luego $$\pi \equiv \begin{vmatrix} x-1 & 1 & 8 \\ y-2 & 1 & 0\\ z-1 & -2 & 4 \end{vmatrix}=0$$ esto es $$\pi \equiv x-5y-2z+11=0$$
Por otra parte, el plano $\pi'$ que contiene a $s$ viene caracterizado por $(\vec{v}\,,\,\vec{n}\,;\,B)$ con lo cual, razonando de forma análoga, obtenemos $$\pi '\equiv \begin{vmatrix}x-x_B & v_1 & n_1 \\ y-y_B & v_2 & n_2 \\ z-z_B & v_3 & n_3 \end{vmatrix}$$ luego $$\pi' \equiv \begin{vmatrix} x-4 & -1 & 8 \\ y+1 & 3 & 0\\ z & 2 & 4 \end{vmatrix}=0$$ esto es $$\pi' \equiv 3x+5y-6z-7=0$$
En consecuencia las ecuaciones implícitas de $t=\pi \cap \pi'$ vienen dadas por las ecuaciones de sendos planos: $$t\equiv \left\{\begin{matrix}x&-&5y&-&2z&=&-11 \\ 3x&+&5y&-&6z&=&7 \end{matrix}\right.$$
$\square$
SOLUCIÓN. Si las dos rectas dadas son secantes, no puede encontrarse una recta que las corte perpendicularmente, salvo si dichas rectas son perpendiculares, en cuyo caso la recta pedida es cualquiera de las dos. Si las rectas son paralelas no coincidentes, hay infinitas rectas que las cortan y son perpendiculares a ambas. Por otra parte, si dichas rectas se cruzan, hay una sola recta que las corte y sea perpendicular a esas dos rectas dadas, que es el caso de las rectas del enunciado; en efecto, un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}=(1,1,-2)$ y un punto de dicha recta es $A(1,2,1)$; un vector en la dirección de $s$ es $\vec{v}=(-1,3,2)$ y un punto de esa recta es $B(4,-1,0)$, entonces $\text{rango}(\{\vec{u}\,,\,\vec{v}\,\,\overset{\rightarrow}{AB}\})=3$ ya que $$\begin{vmatrix}1&1&-2 \\ -1& 3 & 2 \\ 4-1 & -1-2 & 0-1\end{vmatrix} \neq 0$$ luego al ser los tres vectores linealmente independientes $r$ y $s$ se cruzan.
Así pues, como las rectas $r$ y $s$ se cruzan, existe una y sólo una recta, a la que denotamos por $t$, que corta perpendicularmente a las dos. Procedemos a encontrarla.
Desde luego, un vector $\vec{n}$ en la dirección de $t$ ha de ser perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$, por lo que podemos tomar $$\vec{n}:=\vec{u} \times \vec{v} \overset{\text{def}}{=} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & 2\end{vmatrix}=8\,\vec{i}+4\,\vec{k}=(8,0,4)$$ Además, este vector $\vec{n}$, es paralelo al plano $\pi$ que contiene a $r$, y, también, al plano $\pi'$ que contiene a $s$. Y es claro que la recta pedida $t$ es la intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$. Vamos pues a determinar las ecuaciones de estos dos planos; una vez obtenidas, la recta $t$ tendrá como ecuaciones implícitas estas dos ecuaciones.
El plano $\pi$ que contiene a $r$ viene caracterizado por $(\vec{u}\,,\,\vec{n}\,;\,A)$ con lo cual $$\pi \left\{\begin{matrix}x-x_A=\lambda\,u_1+\mu\, n_1 \\ y-y_A=\lambda\,u_2+\mu\, n_2 \\ z-z_A=\lambda\,u_3+\mu\, n_3 \end{matrix}\right.$$ y teniendo en cuenta que $$\text{rango}\begin{pmatrix}x-x_A & u_1 & n_1 \\ y-y_A & u_2 & n_2 \\ z-z_A & u_3 & n_3 \end{pmatrix}=2$$ y por tanto $$\pi \equiv \begin{vmatrix}x-x_A & u_1 & n_1 \\ y-y_A & u_2 & n_2 \\ z-z_A & u_3 & n_3 \end{vmatrix}$$ luego $$\pi \equiv \begin{vmatrix} x-1 & 1 & 8 \\ y-2 & 1 & 0\\ z-1 & -2 & 4 \end{vmatrix}=0$$ esto es $$\pi \equiv x-5y-2z+11=0$$
Por otra parte, el plano $\pi'$ que contiene a $s$ viene caracterizado por $(\vec{v}\,,\,\vec{n}\,;\,B)$ con lo cual, razonando de forma análoga, obtenemos $$\pi '\equiv \begin{vmatrix}x-x_B & v_1 & n_1 \\ y-y_B & v_2 & n_2 \\ z-z_B & v_3 & n_3 \end{vmatrix}$$ luego $$\pi' \equiv \begin{vmatrix} x-4 & -1 & 8 \\ y+1 & 3 & 0\\ z & 2 & 4 \end{vmatrix}=0$$ esto es $$\pi' \equiv 3x+5y-6z-7=0$$
En consecuencia las ecuaciones implícitas de $t=\pi \cap \pi'$ vienen dadas por las ecuaciones de sendos planos: $$t\equiv \left\{\begin{matrix}x&-&5y&-&2z&=&-11 \\ 3x&+&5y&-&6z&=&7 \end{matrix}\right.$$
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lunes, 4 de diciembre de 2017
Plano tangente a la superficie de una esfera con centro distinto del origen de coordenadas en un punto dado de la misma
ENUNCIADO. Sea la esfera ( superficie esférica ) $e\equiv (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-3=0$ y considérese el punto $P(2,2,2)$ de $e$. Se pide:
a) Compruébese que $P(2,2,2)$ pertenece a la superficie esférica dada
b) Determínese la ecuación general del plano tangente a $e$ en el punto $P(2,2,2)$
SOLUCIÓN.
a) $P \in e$; en efecto, sus coordenadas verifican la ecuación de la superficie esférica: $$(2-1)^2+(2-1)^2+(2-1)^2-3=1^2+1^2+1^2-3=3-3=0$$
b) Como la ecuación de una esfera de centro $C(x_C,y_C,z_C)$ y radio $R$ viene dada por $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2-R^2=0$, el centro de la esfera dada $e$ es el punto $C(1,1,1)$; entonces, dado un punto $P$ de la superficie de la esfera, deberá cumplirse que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OC}+\overset{\rightarrow}{CP}$, donde $O(0,0,0)$ es el origen de coordenadas del sistema de referencia afín $\mathcal{R}=\{O;\vec{i},\vec{j}\,\vec{k}\}$, con lo cual podemos calcular el radio vector $\overset{\rightarrow}{CP}$ despejándolo de (1): $$\overset{\rightarrow}{CP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OC}$$ esto es $$\overset{\rightarrow}{CP}=(2,2,2)-(1,1,1)=(1,1,1)$$
que, por definición ( de plano tangente a la superficie de una esfera en un punto $P$ ), es perpendicular al plano tangente pedido ( que denotaremos por $\pi_{t}$ ); en consecuencia un vector característico de dicho plano, cuya ecuación general viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$, es precisamente dicho radio vector, de lo cual deducimos que $A=B=C=1$ y, por tanto $$\pi_{t}\equiv 1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z+D=0$$ esto es $$\pi_{t}\equiv x+y+z+D=0$$ Falta todavía determinar el valor del coeficiente $D$, que calcularemos teniendo en cuenta que $P(2,2,2)$ ha de ser también un punto del plano tangente y por tanto sus coordenadas han de satisfacer la ecuación del mismo: $2+2+2+D=0 \Rightarrow D=-6$ En consecuencia, la ecuación del plano tangente a la esfera $e\equiv (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-3=0$ en el punto $P(2,2,2)$ de su superficie es $$\pi_t\equiv x+y+z-6=0$$
$\square$
a) Compruébese que $P(2,2,2)$ pertenece a la superficie esférica dada
b) Determínese la ecuación general del plano tangente a $e$ en el punto $P(2,2,2)$
SOLUCIÓN.
a) $P \in e$; en efecto, sus coordenadas verifican la ecuación de la superficie esférica: $$(2-1)^2+(2-1)^2+(2-1)^2-3=1^2+1^2+1^2-3=3-3=0$$
b) Como la ecuación de una esfera de centro $C(x_C,y_C,z_C)$ y radio $R$ viene dada por $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2-R^2=0$, el centro de la esfera dada $e$ es el punto $C(1,1,1)$; entonces, dado un punto $P$ de la superficie de la esfera, deberá cumplirse que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OC}+\overset{\rightarrow}{CP}$, donde $O(0,0,0)$ es el origen de coordenadas del sistema de referencia afín $\mathcal{R}=\{O;\vec{i},\vec{j}\,\vec{k}\}$, con lo cual podemos calcular el radio vector $\overset{\rightarrow}{CP}$ despejándolo de (1): $$\overset{\rightarrow}{CP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OC}$$ esto es $$\overset{\rightarrow}{CP}=(2,2,2)-(1,1,1)=(1,1,1)$$
que, por definición ( de plano tangente a la superficie de una esfera en un punto $P$ ), es perpendicular al plano tangente pedido ( que denotaremos por $\pi_{t}$ ); en consecuencia un vector característico de dicho plano, cuya ecuación general viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$, es precisamente dicho radio vector, de lo cual deducimos que $A=B=C=1$ y, por tanto $$\pi_{t}\equiv 1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z+D=0$$ esto es $$\pi_{t}\equiv x+y+z+D=0$$ Falta todavía determinar el valor del coeficiente $D$, que calcularemos teniendo en cuenta que $P(2,2,2)$ ha de ser también un punto del plano tangente y por tanto sus coordenadas han de satisfacer la ecuación del mismo: $2+2+2+D=0 \Rightarrow D=-6$ En consecuencia, la ecuación del plano tangente a la esfera $e\equiv (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-3=0$ en el punto $P(2,2,2)$ de su superficie es $$\pi_t\equiv x+y+z-6=0$$
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Plano tangente a un cierto punto de la superficie de una esfera dada
ENUNCIADO. Sea la esfera ( superficie esférica ) $e\equiv x^2+y^2+z^2-1=0$ y considérese el punto $P(0,0,1)$ de $e$. Se pide:
a) Compruébese que $P(0,0,1)$ pertenece a la superficie esférica dada
b) Determínese la ecuación general del plano tangente a $e$ en el punto $P(0,0,1)$
SOLUCIÓN.
a) $P \in e$; en efecto, sus coordenadas verifican la ecuación de la superficie esférica: $$0^2+0^2+1^2-1=0$$
b) Como la ecuación de una esfera de centro $C(x_C,y_C,z_C)$ y radio $R$ viene dada por $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2-R^2=0$, el centro de la esfera dada $e$ es el punto $C(0,0,0)$, entonces el radio vector del punto $P(0,0,1)$ es $\overset{\rightarrow}{CP}=(0-0,0-0,1-0)=(0,0,1)$ que, por definición, es perpendicular al plano tangente pedido ( que denotaremos por $\pi_{t}$ ), en consecuencia un vector característico de dicho plano cuya ecuación general viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$ es precisamente dicho radio vector, de lo cual deducimos que $A=B=0$ y $C=1$ y, por tanto $$\pi_{t}\equiv 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z+D=0$$ esto es $$\pi_{t}\equiv z+D=0$$ Tan sólo queda determinar el valor del coeficiente $D$, que calcularemos teniendo en cuenta que $P(0,0,1)$ ha de ser también un punto del plano tangente y por tanto sus coordenadas han de satisfacer la ecuación del mismo: $0+0+1+D=0 \Rightarrow D=-1$ En consecuencia, la ecuación del plano tangente a la esfera $e\equiv x^2+y^2+z^2-1=0$ en el punto $P(0,0,1)$ de su superficie es $$\pi_t\equiv z-1=0$$
$\square$
a) Compruébese que $P(0,0,1)$ pertenece a la superficie esférica dada
b) Determínese la ecuación general del plano tangente a $e$ en el punto $P(0,0,1)$
SOLUCIÓN.
a) $P \in e$; en efecto, sus coordenadas verifican la ecuación de la superficie esférica: $$0^2+0^2+1^2-1=0$$
b) Como la ecuación de una esfera de centro $C(x_C,y_C,z_C)$ y radio $R$ viene dada por $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2-R^2=0$, el centro de la esfera dada $e$ es el punto $C(0,0,0)$, entonces el radio vector del punto $P(0,0,1)$ es $\overset{\rightarrow}{CP}=(0-0,0-0,1-0)=(0,0,1)$ que, por definición, es perpendicular al plano tangente pedido ( que denotaremos por $\pi_{t}$ ), en consecuencia un vector característico de dicho plano cuya ecuación general viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$ es precisamente dicho radio vector, de lo cual deducimos que $A=B=0$ y $C=1$ y, por tanto $$\pi_{t}\equiv 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z+D=0$$ esto es $$\pi_{t}\equiv z+D=0$$ Tan sólo queda determinar el valor del coeficiente $D$, que calcularemos teniendo en cuenta que $P(0,0,1)$ ha de ser también un punto del plano tangente y por tanto sus coordenadas han de satisfacer la ecuación del mismo: $0+0+1+D=0 \Rightarrow D=-1$ En consecuencia, la ecuación del plano tangente a la esfera $e\equiv x^2+y^2+z^2-1=0$ en el punto $P(0,0,1)$ de su superficie es $$\pi_t\equiv z-1=0$$
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Problemas métricos. Plano tangente a un punto de la superficie de una esfera
ENUNCIADO. Sea la esfera ( superficie esférica ) $e\equiv x^2+y^2+z^2-3=0$ y considérese el punto $P(1,1,1)$ de $e$. Se pide:
a) Compruébese que $P(1,1,1)$ pertenece a la superficie esférica dada
b) Determínese la ecuación general del plano tangente a $e$ en el punto $P(1,1,1)$
SOLUCIÓN.
a) $P \in e$; en efecto, sus coordenadas verifican la ecuación de la superficie esférica: $$1^2+1^2+1^2-3=0$$
b) Como la ecuación de una esfera de centro $C(x_C,y_C,z_C)$ y radio $R$ viene dada por $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2-R^2=0$, el centro de la esfera dada $e$ es el punto $C(0,0,0)$, entonces el radio vector del punto $P(1,1,1)$ es $\overset{\rightarrow}{CP}=(1-0,1-0,1-0)=(1,1,1)$ que, por definición, es perpendicular al plano tangente pedido ( que denotaremos por $\pi_{t}$ ), en consecuencia un vector característico de dicho plano cuya ecuación general viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$ es precisamente dicho radio vector, de lo cual deducimos que $A=B=C=1$ y, por tanto $$\pi_{t}\equiv 1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z+D=0$$ esto es $$\pi_{t}\equiv x+y+z+D=0$$ Tan sólo queda determinar el valor del coeficiente $D$, que calcularemos teniendo en cuenta que $P(1,1,1)$ ha de ser también un punto del plano tangente y por tanto sus coordenadas han de satisfacer la ecuación del mismo: $1+1+1+D=0 \Rightarrow D=-3$ En consecuencia, la ecuación del plano tangente a la esfera $e\equiv x^2+y^2+z^2-3=0$ en el punto $P(1,1,1)$ de su superficie es $$\pi_t\equiv x+y+z-3=0$$
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a) Compruébese que $P(1,1,1)$ pertenece a la superficie esférica dada
b) Determínese la ecuación general del plano tangente a $e$ en el punto $P(1,1,1)$
SOLUCIÓN.
a) $P \in e$; en efecto, sus coordenadas verifican la ecuación de la superficie esférica: $$1^2+1^2+1^2-3=0$$
b) Como la ecuación de una esfera de centro $C(x_C,y_C,z_C)$ y radio $R$ viene dada por $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2-R^2=0$, el centro de la esfera dada $e$ es el punto $C(0,0,0)$, entonces el radio vector del punto $P(1,1,1)$ es $\overset{\rightarrow}{CP}=(1-0,1-0,1-0)=(1,1,1)$ que, por definición, es perpendicular al plano tangente pedido ( que denotaremos por $\pi_{t}$ ), en consecuencia un vector característico de dicho plano cuya ecuación general viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$ es precisamente dicho radio vector, de lo cual deducimos que $A=B=C=1$ y, por tanto $$\pi_{t}\equiv 1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z+D=0$$ esto es $$\pi_{t}\equiv x+y+z+D=0$$ Tan sólo queda determinar el valor del coeficiente $D$, que calcularemos teniendo en cuenta que $P(1,1,1)$ ha de ser también un punto del plano tangente y por tanto sus coordenadas han de satisfacer la ecuación del mismo: $1+1+1+D=0 \Rightarrow D=-3$ En consecuencia, la ecuación del plano tangente a la esfera $e\equiv x^2+y^2+z^2-3=0$ en el punto $P(1,1,1)$ de su superficie es $$\pi_t\equiv x+y+z-3=0$$
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Problemas métricos. Incidencias entre una recta y una esfera; caso en que no hay puntos de contacto
ENUNCIADO. Sea la recta $r \equiv x-1=x-2=x-3$ y la esfera $e\equiv (x-1)^2+y^2+z^2-4=0$. Estudiar la incidencia.
SOLUCIÓN. El radio de la esfera es $R=\left|\sqrt{4}\right|=2\,\text{unidades de longitud}$, el centro de la esfera es epunto $C(1,0,0)$. Calculemos la distancia entre la recta y el centro de la esfera:
$$d(C,r)=\dfrac{\left\|\overset{\rightarrow}{AC} \times \vec{u}\right\|}{\left\| \vec{u}\right\|} \quad \quad (1)$$ donde $A$ es punto de $r$
Un punto de $r$ es $A(1,2,3)$, con lo cual $\overset{\rightarrow}{AC}=(1-1,2-0,3-0)=(0,2,3)$ y un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}=(1,1,1)$, cuyo módulo es $\left\|\vec{u}\right\|=\left|\sqrt{1^2+1^2+1^2}\right|=\left|\sqrt{3}\right|$
$\overset{\rightarrow}{AC} \times \vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix}=-\vec{i}+3\,\vec{j}-2\,\vec{k}=(-1,3,-2)$; calculemos ahora su módulo: $\left\|(-1,3,2)\right\|=\left|\sqrt{(-1)^2+3^2+(-2)^2}\right|=\left|\sqrt{14}\right|$
Sustituyendo estos resultados en (1) llegamos a $$d(C,r)=\dfrac{\left|\sqrt{14}\right|}{\left|\sqrt{3}\right|}=\left|\sqrt{\dfrac{14}{3}}\right|\prec R=2 \Rightarrow \text{No hay puntos de contacto entre}\, r\, \text{y}\, e$$
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SOLUCIÓN. El radio de la esfera es $R=\left|\sqrt{4}\right|=2\,\text{unidades de longitud}$, el centro de la esfera es epunto $C(1,0,0)$. Calculemos la distancia entre la recta y el centro de la esfera:
$$d(C,r)=\dfrac{\left\|\overset{\rightarrow}{AC} \times \vec{u}\right\|}{\left\| \vec{u}\right\|} \quad \quad (1)$$ donde $A$ es punto de $r$
Un punto de $r$ es $A(1,2,3)$, con lo cual $\overset{\rightarrow}{AC}=(1-1,2-0,3-0)=(0,2,3)$ y un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}=(1,1,1)$, cuyo módulo es $\left\|\vec{u}\right\|=\left|\sqrt{1^2+1^2+1^2}\right|=\left|\sqrt{3}\right|$
$\overset{\rightarrow}{AC} \times \vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix}=-\vec{i}+3\,\vec{j}-2\,\vec{k}=(-1,3,-2)$; calculemos ahora su módulo: $\left\|(-1,3,2)\right\|=\left|\sqrt{(-1)^2+3^2+(-2)^2}\right|=\left|\sqrt{14}\right|$
Sustituyendo estos resultados en (1) llegamos a $$d(C,r)=\dfrac{\left|\sqrt{14}\right|}{\left|\sqrt{3}\right|}=\left|\sqrt{\dfrac{14}{3}}\right|\prec R=2 \Rightarrow \text{No hay puntos de contacto entre}\, r\, \text{y}\, e$$
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