Simétrico de un punto con respecto a otro punto dado

ENUNCIADO. Calcúlense las coordenadas del punto simétrico del punto $P(-1,2,-1)$ con respecto del punto $C(1,2,-3)$

SOLUCIÓN. Denotemospor $P'$ al apunto pedido. Dicho punto está alineado con los puntos $P$ y $C$ y es tal que $\text{dist}(P',C)=\text{dist}(C,P)$, luego $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PC}$, en consecuencia $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-x_{P}=2\cdot ( x_{C}-x_{P}) \\ y_{P'}-y_{P}=2\cdot ( y_{C}-y_{P}) \\ z_{P'}-z_{P}=2\cdot ( z_{C}-z_{P})\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-(-1)&=&2\cdot ( 1-(-1)) \\ y_{P'}-2&=&2\cdot ( 2-2) \\ z_{P'}-(-1)&=&2\cdot ( -3-(-1))\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x_{P'}+1&=&4 \\ y_{P'}-2&=&0 \\ z_{P'}+1&=&-4\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x_{P'}&=&3 \\ y_{P'}&=&2 \\ z_{P'}&=&-5\end{matrix}\right.$$ luego el punto pedido es $P'(3,2,-5)$
$\square$