Recta que corta perpendicularmente a dos rectas que se cruzan

ENUNCIADO. Sean las rectas $$r\equiv x-1 = y-2=\dfrac{z-1}{-2}$$ y $$s\equiv \dfrac{x-4}{-1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z}{2}$$ Determínese, si es posible, la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$


SOLUCIÓN. Si las dos rectas dadas son secantes, no puede encontrarse una recta que las corte perpendicularmente, salvo si dichas rectas son perpendiculares, en cuyo caso la recta pedida es cualquiera de las dos. Si las rectas son paralelas no coincidentes, hay infinitas rectas que las cortan y son perpendiculares a ambas. Por otra parte, si dichas rectas se cruzan, hay una sola recta que las corte y sea perpendicular a esas dos rectas dadas, que es el caso de las rectas del enunciado; en efecto, un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}=(1,1,-2)$ y un punto de dicha recta es $A(1,2,1)$; un vector en la dirección de $s$ es $\vec{v}=(-1,3,2)$ y un punto de esa recta es $B(4,-1,0)$, entonces $\text{rango}(\{\vec{u}\,,\,\vec{v}\,\,\overset{\rightarrow}{AB}\})=3$ ya que $$\begin{vmatrix}1&1&-2 \\ -1& 3 & 2 \\ 4-1 & -1-2 & 0-1\end{vmatrix} \neq 0$$ luego al ser los tres vectores linealmente independientes $r$ y $s$ se cruzan.

Así pues, como las rectas $r$ y $s$ se cruzan, existe una y sólo una recta, a la que denotamos por $t$, que corta perpendicularmente a las dos. Procedemos a encontrarla.

Desde luego, un vector $\vec{n}$ en la dirección de $t$ ha de ser perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$, por lo que podemos tomar $$\vec{n}:=\vec{u} \times \vec{v} \overset{\text{def}}{=} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & 2\end{vmatrix}=8\,\vec{i}+4\,\vec{k}=(8,0,4)$$ Además, este vector $\vec{n}$, es paralelo al plano $\pi$ que contiene a $r$, y, también, al plano $\pi'$ que contiene a $s$. Y es claro que la recta pedida $t$ es la intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$. Vamos pues a determinar las ecuaciones de estos dos planos; una vez obtenidas, la recta $t$ tendrá como ecuaciones implícitas estas dos ecuaciones.

El plano $\pi$ que contiene a $r$ viene caracterizado por $(\vec{u}\,,\,\vec{n}\,;\,A)$ con lo cual $$\pi \left\{\begin{matrix}x-x_A=\lambda\,u_1+\mu\, n_1 \\ y-y_A=\lambda\,u_2+\mu\, n_2 \\ z-z_A=\lambda\,u_3+\mu\, n_3 \end{matrix}\right.$$ y teniendo en cuenta que $$\text{rango}\begin{pmatrix}x-x_A & u_1 & n_1 \\ y-y_A & u_2 & n_2 \\ z-z_A & u_3 & n_3 \end{pmatrix}=2$$ y por tanto $$\pi \equiv \begin{vmatrix}x-x_A & u_1 & n_1 \\ y-y_A & u_2 & n_2 \\ z-z_A & u_3 & n_3 \end{vmatrix}$$ luego $$\pi \equiv \begin{vmatrix} x-1 & 1 & 8 \\ y-2 & 1 & 0\\ z-1 & -2 & 4 \end{vmatrix}=0$$ esto es $$\pi \equiv x-5y-2z+11=0$$

Por otra parte, el plano $\pi'$ que contiene a $s$ viene caracterizado por $(\vec{v}\,,\,\vec{n}\,;\,B)$ con lo cual, razonando de forma análoga, obtenemos $$\pi '\equiv \begin{vmatrix}x-x_B & v_1 & n_1 \\ y-y_B & v_2 & n_2 \\ z-z_B & v_3 & n_3 \end{vmatrix}$$ luego $$\pi' \equiv \begin{vmatrix} x-4 & -1 & 8 \\ y+1 & 3 & 0\\ z & 2 & 4 \end{vmatrix}=0$$ esto es $$\pi' \equiv 3x+5y-6z-7=0$$

En consecuencia las ecuaciones implícitas de $t=\pi \cap \pi'$ vienen dadas por las ecuaciones de sendos planos: $$t\equiv \left\{\begin{matrix}x&-&5y&-&2z&=&-11 \\ 3x&+&5y&-&6z&=&7 \end{matrix}\right.$$

$\square$