Plano tangente a la superficie de una esfera con centro distinto del origen de coordenadas en un punto dado de la misma

ENUNCIADO. Sea la esfera ( superficie esférica ) $e\equiv (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-3=0$ y considérese el punto $P(2,2,2)$ de $e$. Se pide:

a) Compruébese que $P(2,2,2)$ pertenece a la superficie esférica dada
b) Determínese la ecuación general del plano tangente a $e$ en el punto $P(2,2,2)$

SOLUCIÓN.
a) $P \in e$; en efecto, sus coordenadas verifican la ecuación de la superficie esférica: $$(2-1)^2+(2-1)^2+(2-1)^2-3=1^2+1^2+1^2-3=3-3=0$$
b) Como la ecuación de una esfera de centro $C(x_C,y_C,z_C)$ y radio $R$ viene dada por $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2-R^2=0$, el centro de la esfera dada $e$ es el punto $C(1,1,1)$; entonces, dado un punto $P$ de la superficie de la esfera, deberá cumplirse que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OC}+\overset{\rightarrow}{CP}$, donde $O(0,0,0)$ es el origen de coordenadas del sistema de referencia afín $\mathcal{R}=\{O;\vec{i},\vec{j}\,\vec{k}\}$, con lo cual podemos calcular el radio vector $\overset{\rightarrow}{CP}$ despejándolo de (1): $$\overset{\rightarrow}{CP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OC}$$ esto es $$\overset{\rightarrow}{CP}=(2,2,2)-(1,1,1)=(1,1,1)$$
que, por definición ( de plano tangente a la superficie de una esfera en un punto $P$ ), es perpendicular al plano tangente pedido ( que denotaremos por $\pi_{t}$ ); en consecuencia un vector característico de dicho plano, cuya ecuación general viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$, es precisamente dicho radio vector, de lo cual deducimos que $A=B=C=1$ y, por tanto $$\pi_{t}\equiv 1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z+D=0$$ esto es $$\pi_{t}\equiv x+y+z+D=0$$ Falta todavía determinar el valor del coeficiente $D$, que calcularemos teniendo en cuenta que $P(2,2,2)$ ha de ser también un punto del plano tangente y por tanto sus coordenadas han de satisfacer la ecuación del mismo: $2+2+2+D=0 \Rightarrow D=-6$ En consecuencia, la ecuación del plano tangente a la esfera $e\equiv (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-3=0$ en el punto $P(2,2,2)$ de su superficie es $$\pi_t\equiv x+y+z-6=0$$
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Plano tangente a un cierto punto de la superficie de una esfera dada

ENUNCIADO. Sea la esfera ( superficie esférica ) $e\equiv x^2+y^2+z^2-1=0$ y considérese el punto $P(0,0,1)$ de $e$. Se pide:

a) Compruébese que $P(0,0,1)$ pertenece a la superficie esférica dada
b) Determínese la ecuación general del plano tangente a $e$ en el punto $P(0,0,1)$

SOLUCIÓN.
a) $P \in e$; en efecto, sus coordenadas verifican la ecuación de la superficie esférica: $$0^2+0^2+1^2-1=0$$
b) Como la ecuación de una esfera de centro $C(x_C,y_C,z_C)$ y radio $R$ viene dada por $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2-R^2=0$, el centro de la esfera dada $e$ es el punto $C(0,0,0)$, entonces el radio vector del punto $P(0,0,1)$ es $\overset{\rightarrow}{CP}=(0-0,0-0,1-0)=(0,0,1)$ que, por definición, es perpendicular al plano tangente pedido ( que denotaremos por $\pi_{t}$ ), en consecuencia un vector característico de dicho plano cuya ecuación general viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$ es precisamente dicho radio vector, de lo cual deducimos que $A=B=0$ y $C=1$ y, por tanto $$\pi_{t}\equiv 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z+D=0$$ esto es $$\pi_{t}\equiv z+D=0$$ Tan sólo queda determinar el valor del coeficiente $D$, que calcularemos teniendo en cuenta que $P(0,0,1)$ ha de ser también un punto del plano tangente y por tanto sus coordenadas han de satisfacer la ecuación del mismo: $0+0+1+D=0 \Rightarrow D=-1$ En consecuencia, la ecuación del plano tangente a la esfera $e\equiv x^2+y^2+z^2-1=0$ en el punto $P(0,0,1)$ de su superficie es $$\pi_t\equiv z-1=0$$
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Problemas métricos. Plano tangente a un punto de la superficie de una esfera

ENUNCIADO. Sea la esfera ( superficie esférica ) $e\equiv x^2+y^2+z^2-3=0$ y considérese el punto $P(1,1,1)$ de $e$. Se pide:

a) Compruébese que $P(1,1,1)$ pertenece a la superficie esférica dada
b) Determínese la ecuación general del plano tangente a $e$ en el punto $P(1,1,1)$

SOLUCIÓN.
a) $P \in e$; en efecto, sus coordenadas verifican la ecuación de la superficie esférica: $$1^2+1^2+1^2-3=0$$
b) Como la ecuación de una esfera de centro $C(x_C,y_C,z_C)$ y radio $R$ viene dada por $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2-R^2=0$, el centro de la esfera dada $e$ es el punto $C(0,0,0)$, entonces el radio vector del punto $P(1,1,1)$ es $\overset{\rightarrow}{CP}=(1-0,1-0,1-0)=(1,1,1)$ que, por definición, es perpendicular al plano tangente pedido ( que denotaremos por $\pi_{t}$ ), en consecuencia un vector característico de dicho plano cuya ecuación general viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$ es precisamente dicho radio vector, de lo cual deducimos que $A=B=C=1$ y, por tanto $$\pi_{t}\equiv 1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z+D=0$$ esto es $$\pi_{t}\equiv x+y+z+D=0$$ Tan sólo queda determinar el valor del coeficiente $D$, que calcularemos teniendo en cuenta que $P(1,1,1)$ ha de ser también un punto del plano tangente y por tanto sus coordenadas han de satisfacer la ecuación del mismo: $1+1+1+D=0 \Rightarrow D=-3$ En consecuencia, la ecuación del plano tangente a la esfera $e\equiv x^2+y^2+z^2-3=0$ en el punto $P(1,1,1)$ de su superficie es $$\pi_t\equiv x+y+z-3=0$$
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