Problemas métricos. Plano tangente a un punto de la superficie de una esfera

ENUNCIADO. Sea la esfera ( superficie esférica ) $e\equiv x^2+y^2+z^2-3=0$ y considérese el punto $P(1,1,1)$ de $e$. Se pide:

a) Compruébese que $P(1,1,1)$ pertenece a la superficie esférica dada
b) Determínese la ecuación general del plano tangente a $e$ en el punto $P(1,1,1)$

SOLUCIÓN.
a) $P \in e$; en efecto, sus coordenadas verifican la ecuación de la superficie esférica: $$1^2+1^2+1^2-3=0$$
b) Como la ecuación de una esfera de centro $C(x_C,y_C,z_C)$ y radio $R$ viene dada por $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2-R^2=0$, el centro de la esfera dada $e$ es el punto $C(0,0,0)$, entonces el radio vector del punto $P(1,1,1)$ es $\overset{\rightarrow}{CP}=(1-0,1-0,1-0)=(1,1,1)$ que, por definición, es perpendicular al plano tangente pedido ( que denotaremos por $\pi_{t}$ ), en consecuencia un vector característico de dicho plano cuya ecuación general viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$ es precisamente dicho radio vector, de lo cual deducimos que $A=B=C=1$ y, por tanto $$\pi_{t}\equiv 1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z+D=0$$ esto es $$\pi_{t}\equiv x+y+z+D=0$$ Tan sólo queda determinar el valor del coeficiente $D$, que calcularemos teniendo en cuenta que $P(1,1,1)$ ha de ser también un punto del plano tangente y por tanto sus coordenadas han de satisfacer la ecuación del mismo: $1+1+1+D=0 \Rightarrow D=-3$ En consecuencia, la ecuación del plano tangente a la esfera $e\equiv x^2+y^2+z^2-3=0$ en el punto $P(1,1,1)$ de su superficie es $$\pi_t\equiv x+y+z-3=0$$
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