Cálculo de probabilidades con las distribuciones binomial y normal.

ENUNCIADO. Una empresa ha llevado a cabo un proceso de selección de personal.
a) Se sabe que el $40\,\%$ del total de los aspirantes ha sido seleccionado. Si entre los aspirantes había un grupo de $8$ amigos, calcúlese la probabilidad de que al menos $2$ de ellos hayan sido seleccionados.
b) Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de selección siguen una distribución normal, $X$, de media $5.6$ y desviación típica $\sigma$. Sabiendo que $P\{X\le 8.2\}=0.67$, calcúlese el valor de $\sigma$

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $S$ a la variable aleatoria "número de amigos del grupo que han sido seleccionados". Los valores posibles de dicha v.a. son $0,1,2,3,\ldots,8$. Es claro que $S$ sigue una distribución binomial de parámetros $n=8$ y probabilidad de éxito $p=40/100=2/5$ ( y probabilidad de fracaso $q=1-p=3/5$). Entonces, $\displaystyle P\{X\ge 2\}=1-P\{X\le 1\}=1-\left( \binom{8}{0}\cdot (2/5)^{0}\cdot (3/5)^8 + \binom{8}{1}\cdot (2/5)^{1}\cdot (3/5)^7 \right)=$
  $=\displaystyle 1-(3/5)^8 - 8 \cdot (2/5)\cdot (3/5)^7 \approx 0,8936$

b) La variable aleatoria $X$ (puntuación) sigue una distribución $N(5.6,\sigma)$. Entonces, tipificando la variable $X$, pasamos a la v.a. $Z$ que sigue una distribución normal $N(0,1)$, luego $P\{X\le 8.2\}=P\{Z\le (8.2-5.6)/\sigma\}=P\{Z\le 2.6/\sigma\}$; por otra parte, sabemos que dicha probabilidad ha de ser igual a $0.67$, así que, consultando en el interior de las tablas de la función de distribución $F(z)$, encontramos para dicho valor ( $0.67$ ), la abscisa crítica $z^*=0.44$, luego $$\dfrac{2.6}{\sigma}=0.44 \Leftrightarrow \sigma=\dfrac{2.6}{0.44}\approx 5,91$$
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Un problema de geometría en el espacio euclídeo

ENUNCIADO. Dados los puntos $A(1,1,1)$, $B(1,3,-3)$ y $C(-3,-1,1)$, se pide:
a) La ecuación del plano $\pi$ que contiene a los tres puntos
b) Obténgase un punto $D$ ( distinto de $A,B$ y $C$ ) tal que los vectores $\overset{\rightarrow}{AB}$, $\overset{\rightarrow}{AC}$ y $\overset{\rightarrow}{AD}$ sean linealmente dependientes
c) Encuéntrese un punto $P$ del eje $Ox$ de modo que el volumen del tetraedro de vértices $A,B,C$ y $P$ sea igual a $1$

SOLUCIÓN.
a)
Procederemos de la manera siguiente. Un vector característico del plano $\pi$ ( perpendicular a $\pi$ ) viene dado por cualquier vector en la dirección de $\vec{u} \times \vec{v}$, siendo $\vec{u}$ y $\vec{v}$ vectores del plano $\pi$. A partir de las coordenadas del vector característico $\vec{n}=(A,B,C)$, podremos escribir la ecuación general del plano $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$, donde $D$ puede determinarse imponiendo que las coordenadas de cualquier punto del plano satisfagan dicha ecuación.

Entonces,
$\overset{\rightarrow}{AB}=(1-1,3-1,-3-1)=(0,2,-4)\propto (0,1,-2)$ y $\overset{\rightarrow}{AC}=(-3-1,-1-1,1-1)=(-4,-2,0)\propto (2,1,0)$, luego dos vectores del plano $\pi$ son: $\vec{u}:=(0,1,-2)$ y $\vec{v}:=(2,1,0)$, y como $\vec{u}\times \vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\0&1&-2\\2&1&0\end{vmatrix}=(2-4,-2)\propto (1,-2,-1)$ ( donde los vectores $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica, a la cual vienen referidas las coordenadas de los puntos dados ), un vector que caracteriza al plano $\pi$ (perpendicular al mismo) es $\vec{n}:=(1,-2,-1)$, de lo cual podemos escribir $$\pi\equiv x-2y+z+C=0$$ Por otra parte, como el punto $A(1,1,1)$ está en $\pi$, tenemos que $1-2\cdot 1-1+C=0\Leftrightarrow C=2$. En consecuencia, la ecuación del plano pedido es $$\pi\equiv x-2y-z+2=0$$

b)
Tomando valores arbitrarios de $x$ e $y$ -- pongamos que $x:=0$ e $y:=0$ -- y depejando $z$ de la ecuación general del plano, obtenemos otro punto del plano $\pi$, distinto de $A,B$ y $C$: $D(0,0,2)$, y, por tanto, $\overset{\rightarrow}{AD}=(0-1,0-1,2-1)=(-1,-1,1)$. Dicho vector del plano $\pi$ ha de ser combinación lineal del sistema de vectores $\{ \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}\}$ ya que estos forman una base del mismo, pues al no tener la misma dirección son linealmente independientes. En consecuencia mediante el punto $D(0,0,2)$ podemos formar el conjunto de vectores linealmente dependientes: $\{ \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{AD} \}$

c)
Como el punto $P$ está en el eje $Ox$, sabemos que sus coordenadas son $P(x_P,0,0)$. Considerando ahora el paralelepípedo cuyos vectores en la dirección de sus tres aristas características son $\overset{\rightarrow}{PA}=(1-x_P,1-0,1-0)=(1-x_P,1,1)$, $\overset{\rightarrow}{PB}=(1-x_P,3-0,-3-0)=(1-x_P,3,-3)$ y $\overset{\rightarrow}{PC}=(-3-x_P,-1-0,1-0)=(-3-x_P,-1,1)$, sabemos que éste se divide en $6$ tetraedros del mismo volumen, uno de los cuales es el tetraedro cuyo volumen nos proponemos calcular, de vértices $A,B,C$ y $P$. Entonces dicho volumen es igual a una sexta parte del producto mixto de los tres vectores $$\mathcal{V}=\dfrac{1}{6}\,\left| \,\left[ \overset{\rightarrow}{PA}, \overset{\rightarrow}{PB},\overset{\rightarrow}{PC}\right]\,\right|$$ Calculando el producto mixto, obtenemos: $$\,\left[ \overset{\rightarrow}{PA}, \overset{\rightarrow}{PB},\overset{\rightarrow}{PC}\right] =\begin{vmatrix}1-x_P & 1 & 1\\ 1-x_P & 3 & -3 \\ 3-x_P &-1& 1\end{vmatrix}=8\,(x_P+2)$$ luego $$\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\,\left| x_P+2 \right|=1 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_P+2=\dfrac{3}{4} \Rightarrow x_{P_{1}}=-\dfrac{5}{4} \\ -(x_P+2)=\dfrac{3}{4} \Rightarrow x_{P_{2}}=-\dfrac{11}{4} \end{matrix}\right.$$ Hemos encotrado pues dos puntos que satisfacen la condición pedida: $P_{1}(-5/4,0,0)$ y $P_{2}(-11/4,0,0)$
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Reglas de derivación. Cálculo de primitivas

ENUNCIADO.
(a) Sean $f$ y $g$ dos funciones derivables, de las que se conocen los siguientes datos: $f(1)=1$, $f'(1)=2$; $g(1)=3$, $g'(1)=4$. Se pide:
i) Dada la función $h(x)=f((x+1)^2)$, empléese la regla de la cadena para calcular $h'(0)$
ii) Dada la función $k(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$, calcúlese $k'(1)$
(b) Calcúlese la integral $\displaystyle \int\,(\sin\,x)^4\,(\cos\,x)^3\,dx$ ( Sugerencia: utilízece el cambio de variable $\sin\,x=t$ )

SOLUCIÓN.
a.i)
Aplicando la regla de la cadena, $$h'(x)=\dfrac{dh(x)}{dx}=\dfrac{d(f(x+1)^2)}{d((x+1)^2)}\,\dfrac{d((x+1)^2}{dx}=2x\,\dfrac{d(f(x+1)^2)}{d((x+1)^2)}=2x\,f'((x+1)^2)$$ luego $$h'(0)=2\cdot 0\cdot f'((0+1)^2)=0\cdot f'(1)=0\cdot 2=0$$

a.ii)
Aplicando la regla de derivación del cociente de funcions $$k'(x)=\dfrac{f'(x)\,g(x)-g'(x)\,f(x)}{(g(x))^2}$$ luego $$k'(1)=\dfrac{f'(1)\,g(1)-g'(1)\,f(1)}{(g(1))^2}=\dfrac{2\cdot 3-4\cdot 1}{3^3}=\dfrac{2}{9}$$

b)
Con el cambio de variable $\sin\,x=t$, tenemos que $$\dfrac{dt}{dx}=\cos\,x \Rightarrow dt=\cos\,x\,dx=\sqrt{1-t^2}\,dx \Rightarrow dx= \dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$ , habida cuenta de que, por la Identidad Fundamental de la Trigonometría, $$\cos\,x=\sqrt{1-(\sin\,x)^2}=\sqrt{1-t^2}$$ Entonces,
$\displaystyle \int\,(\sin\,x)^4\,(\cos\,x)^3\,dx = \int\,t^4\,(1-t^2)^{3/2}\,\dfrac{dt}{(1-t^2)^{1/2}}=\int\,t^4\,(1-t^2)\,dt=$
  $=\displaystyle \int\,(t^4-t^6)\,dt=\dfrac{1}{5}\,t^5-\dfrac{1}{7}\,t^7+C=\dfrac{1}{5}\,(\sin\,x)^5-\dfrac{1}{7}\,(\sin\,x)^7+C$
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Discusión de un sistema de ecuaciones lineales en función de un parámetro real y resolución del mismo en un determinado caso.

ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}kx&+&(k+1)y&+&z&=&0 \\ -x&+&ky&-&z&=&0\\(k-1)x&-&y&&&=&-(k+1)\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro real $k$
b) Resolver el sistema para $k:=-1$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}k&k+1&1&0\\ -1&k&-1&0\\k-1&-1&0&-(k+1)\end{array}\right)$$ Observemos que la submatriz de orden $2$ formada por los elementos de las filas segunda y tercera y por los elementos de las columnas segunda y tercera tiene determinante distinto de cero $\begin{vmatrix}k&-1\\-1&0\end{vmatrix}=1\neq 0$, de lo cual se desprende que el rango de la matriz $A$ ( y también el de la matriz $A^*$ ) es, al menos, $2$. Orlando dicha submatriz obtenemos dos menores complementarios de orden $3$:

$$M_1=\begin{vmatrix}k&k+1&1\\-1&k&-1\\k-1&-1&0\end{vmatrix}=-2\,(k^2-1)=0\Leftrightarrow k\in \{-1,1\}$$

$$M_2=\begin{vmatrix}k+1&1&0\\k&-1&0\\-1&0&-(k+1)\end{vmatrix}=(k+1)(2k+1)\Leftrightarrow k\in \{-1,1/2\}$$

Por consiguiente, y según el teorema de Rouché-Fröbenius:

i) Si $k=-1$, $M_1=M_2=0$ y por tanto los rangos de la matriz $A$ y de la matriz $A^*$ son menores que $3$, por consiguiente $\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y dos variables principales ($n$ denota el número de variables del sistema).

ii) Si $k=1$, $M_1=0 \Rightarrow \text{rango}(A)=2$ y $M_2\neq 0\Rightarrow \text{rango}(A^*)=3$, y, al no coincidir los rangos el sistema es incompatible para dicho valor del parámetro $k$

iii) Para $k=-1/2$, así como para cualquier otro valor de $k$ distinto de $-1$ y de $1$, los rangos coinciden $r=\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=3=n$, y el sistema es compatible determinado.


b)
Si $k:=-1$ estamos en el caso (i) -- sistema compatible indeterminado con $1$ variable secundaria --. La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es ahora $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}-1&0&1&0\\ -1&-1&-1&0\\-2&-1&0&0\end{array}\right)$$ Recordemos que el rango de dicha matriz es $2$ para este valor de $k$. Por otra parte, la tercera fila de dicha matriz es combinación lineal de las dos primeras ( el menor complementario formado por los elementos de las filas primera y segunda y por los elementos de las columnas primera y segunda es distinto de $0$, con lo cual un sistema equivalente está formado por las dos primeras filas $$\left\{\begin{matrix}-x&&&+&z&=&0 \\ -x&-&y&-&z&=&0\end{matrix}\right.$$ Desingando $z$ como variable secundaria: $z:=\lambda$, podemos escribirlo de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&&&&&=&\lambda \\ &&y&&&=&-2\lambda \\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right.$$ Así pues la solución del sistema para dicho valor del parámetro viene dada por las infinitas ternas $$\{(\lambda,-2\lambda,\lambda):\lambda\in\mathbb{R}\}$$ o lo que es lo mismo: $$\{\lambda\,(1,-2,1):\lambda\in\mathbb{R}\}$$
$\square$