Recta perpendicular a dos rectas dadas

ENUNCIADO. Se consideran las rectas $r\equiv (x,y,z)=(0,1,0)+\lambda\,(1,1,0)$ y $s\equiv (x,y,z)=(2,0,1)+\mu\,(-1,0,1)$. Se pide:
a) Determínese la recta $t$ perpendicular a las rectas $r$ y $s$
b) Calcúlense las coordenadas de los puntos de intersección de $r$ con $t$, y de $s$ con $t$

SOLUCIÓN. Sea $\pi_{rt}$ el plano que contiene a $r$ y a $t$, y $\pi_{st}$ el plano que contiene a las rectas $s$ y $t$. Así, $t$ vendrá dada por la intersección de estos dos planos. Vamos a hallar, por tanto, las ecuaciones generales de sendos planos; éstas constituirán las ecuaciones cartesianas de la recta $t$.

Recordemos que un plano viene determinado por un vector perpendicular al mismo y un punto de dicho plano.

Consideremos un vector en la dirección de $t$, $\vec{u}_t$, tal como $\vec{u}_r \times \vec{u}_s$ (por ser $t$ perpendicular a $r$ y a $s$), siendo $\vec{u}_r$ un vector en la dirección de $r$ y $\vec{u}_s$ un vector en la dirección de $s$. Una vez conocido $\vec{u}_t$, y dadas las condiciones de perpendicularidad, un vector característico de $\pi_{rt}$ es $\vec{n}_{\pi_{rt}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_r$,y un vector característico de $\pi_{st}$ es $\vec{n}_{\pi_{st}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_s$

Así $\vec{u}_t:=\vec{u}_r \times \vec{u}_s=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix}=(1,-1,1)$

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Nota: Recordemos que $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica.
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con lo cual,
$\vec{n}_{\pi_{rt}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_r=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&1\\1&1&0\end{vmatrix}=(-1,1,2)$, luego $\pi_{rt}\equiv -x+y+2z+D_{rt}=0 \quad \quad (1)$
y
$\vec{n}_{\pi_{st}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_s=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&1\\-1&0&1\end{vmatrix}=(-1,-2,-1)$, luego $\pi_{st}\equiv -x-2y-z+D_{st}= \quad \quad (2)$

Entonces, teniendo en cuenta que $A_{r}(0,1,0)$ es un punto de $r$ y por tanto de $\pi_{rt}$, determinamos el valor de $D_{rt}$ sustituyendo las coordenas del punto en (1); despejando de $0+1+0+D_{rt}=0$, obteniendo $D_{rt}=-1$, y, por tanto, la ecuación general del plano $pi_{rt}$ es $\pi_{rt}\equiv -x+y+2z-1=0$.

De manera análoga, teniendo en cuenta que $A_{s}(2,0,1)$ es un punto de $s$ y por tanto de $\pi_{st}$, determinamos el valor de $D_{st}$ sustituyendo las coordenas del punto en (2); despejando de $-2+0-1+D_{st}=0$, obteniendo $D_{st}=3$, y, por tanto, la ecuación general del plano $pi_{st}$ es $\pi_{st}\equiv x+2y+z-3=0$

En consecuencia, las ecuaciones cartesianas de la recta $t$ pedida son: $$t\equiv \left\{\begin{matrix}-x+y+2z-1=0 \\ x+2y+z-3=0\end{matrix}\right.$$

b)
Las ecuaciones cartesianas de $r$ las obtenemos despejando el parámetros de las ecuaciones paramétricas que pueden escribirse fácilmente a partir de la ecuación vectorial dada en el enunciado: $\lambda=x=y-1$ y $z=0$, luego $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x-y=-1\\z=0\end{matrix}\right.$$

De manera análoga, obtenemos las ecuaciones cartesianas de $s$: $\mu=2-x=z-1$ y $y=0$, luego $$s\equiv \left\{\begin{matrix}x+z=3\\y=0\end{matrix}\right.$$

Las coordenadas del punto de intersección de $t$ y $r$ corresponden a la solución del siguiente sistema compatible determinado, formado por las ecuaciones cartesians de $t$ y por las ecuaciones cartesians de $r$: $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&2z&=&1 \\ x&+&2y&z&=&3 \\ x&-&y&&=&-1 \\ &&&z&=&0 \end{matrix}\right.$$ y puede comprobarse que su solución es el punto $P_{r \cap t}=(1/3,4/3,0)$

Las coordenadas del punto de intersección de $t$ y $s$ corresponden a la solución del siguiente sistema compatible determinado, formado por las ecuaciones cartesians de $t$ y por las ecuaciones cartesians de $s$: $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&2z&=&1 \\ x&+&2y&z&=&3 \\ x&&&z&=&3 \\ &&y&&=&0 \end{matrix}\right.$$ obteniéndose que su solución es el punto $P_{s \cap t}=(4/3,0,5/3)$

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Determinación de una recta que pasa por un punto dado y que es perpendicular a una cierta recta

ENUNCIADO. Se considera la recta $r\equiv (x,y,z)=(0,1,0)+\lambda\,(1,2,1)$. Determínese la ecuación de la recta $s$ que pasa por el punto $P(1,-1,1)$ y es perpendicular a $r$.

SOLUCIÓN. Sea $X(x,y,z)$ un punto genérico del plano $\pi$ que contiene a $s$ y que, por las condiciones del enunciado, ha de ser perpendicular a $r$. Entonces, siendo $\vec{u}_r:=(1,2,1)$ un vector director de $r$, ha de cumplirse como condición necesaria que $\langle \overset{\rightarrow}{PX},\vec{u}_r\rangle =0$, con lo cual $\langle (x-1,y-(-1),z-1),(1,2,1)\rangle =0$ de donde se desprende que $x+2y+z=0$, que es la ecuación de dicho plano $\pi$.

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Observación: También podemos obtener la ecuación del plano $\pi$ montando directamente la ecuación general del mismo $Ax+By+Cz+D=0$, ya que los valores de los coeficientes $A,B$ y $C$ se corresponden con las coordenadas de un vector perpendicular al mismo, como puede ser un vector en la dirección de $r$ ( ya que $r$ es perpendicular a $\pi$ ); en nuestro caso, $A=1$, $B=2$ y $C=1$. El valor del coeficiente $D$ lo calculamos a partir del punto $P(1,-1,1)$ que forma parte del plano, y, por tanto sus coordenadas tienen que satisfacer la ecuación general de dicho plano: $1.1+2\cdot (-1)+1\cdot 1+D=0$, por lo que $D=0$; en consecuencia, la ecuación general del plano queda $x+2y+z=0$
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La determinación de la recta pedida $s$ requiere conocer un punto de la misma -- ya lo tenemos: $P(1,-1,1)$ -- y un vector que tenga su misma dirección, llamémosle $\vec{u}_s$, para el cual podemos tomar $\overset{\rightarrow}{PI}$ o bien un vector linealmente dependiente con éste, siendo $I$ el punto de intersección del plano $\pi$ ( que contiene a $s$ ) y de la recta $r$.

Procedemos pues a calcular las coordenadas de dicho punto $I$. Para ello, tenemos que escribir las ecuaciones cartesianas de $r$. De la ecuación vectorial de $r$, y despejando el parámetro, obtenemos $\left\{\begin{matrix}\lambda=x \\ \lambda = \dfrac{y-1}{2} \\ \lambda =z \end{matrix}\right.$, y, de éstas igualdades llegamos a
$$r\equiv \left\{\begin{matrix}x=z \\ y-2z=1 \end{matrix}\right.$$

Las coordenadas de $I$ han de ser la solución del sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones cartesianas de la recta $r$ ( que acabamos de hallar ) y la ecuación general del plano $\pi$, esto es $$I \equiv \left\{\begin{matrix}x+2y+z=0 \\ x=z \\ y-2z =1\end{matrix}\right.$$ sistema que resolvemos sin dificultad, obteniendo $I(-1/3,1/3,-1/3)$

Entonces $\overset{\rightarrow}{PI}=\overset{\rightarrow}{OI}-\overset{\rightarrow}{OP}=(-1/3-1,1/3-(-1),-1/3-1)=(-4/3,4/3,-4/3)$ que es linealmente dependiente con $(-1,1,-1)$, luego podemos escribir $\vec{u}_s:=(-1,1,-1)$

Finalmente, ya podemos expresar la ecuación de la recta pedida $s$ en forma vectorial: $\overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\mu\,\vec{u}_3$, siendo ahora $X$ un punto genérico de dicha recta. Así, $$s\equiv (x,y,z)=(1,-1,1)+\mu\,(-1,1,1)$$
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Recta que pasa por un punto dado y que es perpendicular a dos planos que contienen sendas rectas dadas

ENUNCIADO. Las rectas $r\equiv (x,y,z)=(1,0,0)+\lambda\,(-1,1,0)$ y $s\equiv (x,y,z)=(1,1,0)+\mu\,(-1,-1,2)$ están en planos paralelos. Determínese la recta $t$ que es perpendicular a sendos planos y que contiene al punto $P(3,3,2)$.

SOLUCIÓN. Consideremos un vector en la dirección de $r$, $\vec{u}_r:=(-1,1,0)$, y un vector en la dirección de $s$, $\vec{u}_s:=(-1,-1,2)$. Teniendo en cuenta que $t$ es perpendicular a $r$, entonces un vector en la dirección de $t$, $\vec{u}_t$, ha de ser perpendicular a $\vec{u}_r$; y lo mismo ocurre con los vectores de la recta $s$: $\vec{u}_t$ ha de ser perpendicular a los mismos. Así pues, $\vec{u}_r \times \vec{u}_s$ es un vector en la dirección de $t$

Como $\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix}=(3,3,3) \propto (1,1,1)$, tomamos $\vec{u}_t:=(1,1,1)$. Y teniendo en cuenta que $P(3,3,2)$ está en $t$, ya podemos escribir la ecuación de la recta pedida $t$ en forma vectorial: $$t\equiv (x,y,z)=(3,3,2)+\alpha\,(1,1,1)$$

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Lugares geométricos en R^3. Plano mediador de un segmento dado

ENUNCIADO. Determínese la ecuación del plano mediador del segmento cuyos extremos son los puntos $A(1,-1,4)$ y $B(3,0,2)$

SOLUCIÓN. El plano mediador es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de $A$ y $B$, esto es $$\pi_{\text{mediador}}=\{X(x,y,z): \text{dist}(X,A)=\text{dist}(X,B)\}$$
Así pues, de la condición de igual distancia euclídea podemos escribir,
$$|\sqrt{(x-1)^2+(y-(-1))^2+(z-4)^2}|=|\sqrt{(x-3)^2+(y-0)^2+(z-2)^2}|$$ Elevando al cuadrado ambos miembros llegamos a
$$(x-1)^2+(y-(-1))^2+(z-4)^2=(x-3)^2+(y-0)^2+(z-2)^2$$ y desarrollando los binomios al cuadrado,
$$x^2-2x+1+y^2+2y+1+z^2-8z+16=x^2-6x+9+y^2+z^2-4z+4$$ Simplificando ( se anulan los términos de segundo grado ) y agrupando los términos semejantes de primer grado y los términos de grado cero, obtenemos la ecuación del plano pedida: $$\pi_{\text{mediador}} \equiv 4x + 2y -4z+5=0$$
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Taller de cálculo simbólico (CAS) con MAXIMA

Hace un par de años organicé un taller de cálculo simbólico con MAXIMA, una herramienta muy útil para calcular y aprender matemáticas, que forma parte del software libre. Praparé la siguiente presentación para un curso de 1.º de Bachillerato, que espero que sea también de vuestro interés:

Lugares geométricos. Elipsoide

Proyección ortogonal de una recta sobre un plano. Espacio euclídeo R^3.

Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan ( espacio euclídeo R^3 )

Algunos problemas básicos en el espacio euclídeo R^3 que hay que saber resolver

• Determinación de una recta, dado un punto de la misma y un vector en la misma dirección que dicha recta
  
• Determinación de una recta, dados dos puntos de la misma
  
• Saber expresar la ecuación de una recta en todas sus formas: vectorial, continua, paramétrica, y mediante sus ecuaciones cartesianas ( implícitas )
  
• Determinación de un plano, dados tres puntos del mismo
  
• Determinación de un plano, dados un punto del mismo y dos vectores contenidos en dicho plano
  
• Determinación de un plano, conocido un punto de éste y dado un vector perpendicular a dicho plano
  
• Saber expresar la ecuación de un plano en todas formas: vectorial, paremétrica, y general ( implícita )
  
• Determinación de la recta perpendicular a un cierto plano y que ha de pasar por un cierto punto
  
• Determinación de la recta perpendicular a una recta dada y que ha de pasar por un cierto punto
  
• Investigación de la incidencia entre: a) dos rectas, b) dos planos, c) una recta y un plano
  
• Distancia entre dos rectas que se cruzan
  
• Distancia entre una recta y un punto exterior a ella
  
• Distancia entre un plano y un punto exterior a dicho plano
  
• Distancia entre dos planos paralelos no coincidentes
  
• Ángulo entre dos rectas no paralelas
  
• Área de un paralelogramo
  
• Volumen de un paralelepípedo
  
• Ángulo entre dos planos secantes
  
• Punto simétrico de un punto dado con respecto a una cierta recta
  
• Punto simétrico de un punto dado con respecto a un cierto plano
  
• Proyección ortogonal de una recta sobre un plano
  
• Recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan
  
• Plano que contiene a un punto dado, perteneciendo dicho plano a un haz de planos que tienen por arista común una recta dada
  
• Plano que contiene a un punto dado, perteneciendo dicho plano a un cierto haz de planos paralelos
  
• Plano mediador de un segmento ( lugar geométrico )
  
• Plano bisector de dos planos que se cortan ( lugar geométrico )
  
• Ecuación de la superficie de una esfera de centro y radio dados ( lugar geométrico )
  
• Saber deducir el radio y el centro de la ecuación de una esfera en su forma desarrollada: $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$, así como expresar a partir de ésta la ecuación en forma centro-radio: $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=R^2$
  
• Plano tangente a una esfera en un cierto punto de la misma
  
• Investigación de la incidencia entre una esfera y un plano
  
• Radio de la circunferencia que resulta de la intersección de un plano y una esfera ( cuando el plano corta a la esfera )
  
• Saber manejar las ecuaciones de otras superficies ( de revolución ) y entender cómo se deducen: paraboloides, hiperboloides y elipsoides ( lugar geométrico )