Aplicación del desarrollo de Laplace para calcular un determinante de orden arbitrario. Ejemplo con un determinante de orden 4

Resolución de una ecuación con matrices

Discusión del rango de una matriz en función de un parámetro

Matriz inversa asociada a una matriz regular

Matrices idempotentes

Propiedades de los determinantes. Determinante de la matriz inversa.

ENUNCIADO. Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ regular ( inversible ). Demuéstrese que $$\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$$
SOLUCIÓN. Sabemos que $I=AA^{-1}=A^{-1}A$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $n$. Por otra parte, es sabido que dadas dos matrices cuadradas de orden $n$, $A$ y $B$, $\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$. Entonces, $1=\text{det}(I)=\text{det}(AA^{-1})=\text{det}(A)\text{det}(A^{-1})$, luego $\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$
$\square$

Cálculo del rango de una matriz m x n por el método de los menores complementarios y aplicación del algoritmo del orlado

Más propiedades de los determinantes ...

Si $A$ y $B$ son dos matrices cuadradas del mismo orden $n$ se cumplen las siguientes propiedades, cuya comprobación es sencilla con algunos ejemplos. Demostrar la última, es muy sencillo, pues basta encontrar un contraejemplo:

Una propiedad de los determinantes

Ejemplo:
$\begin{vmatrix}5 & 3 \\ 4 & 6\end{vmatrix}\overset{?}{=}\begin{vmatrix}4+1 & 3 \\ 2+2 & 6\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4 & 3 \\ 2 & 6\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 & 6\end{vmatrix}=(24-6)+(6-6)=18$
En efecto,
$\begin{vmatrix}5 & 3 \\ 4 & 6\end{vmatrix}=30-12=18$

Nota: También se cumple con las columnas

Cálculo de determinantes aplicando el desarrollo de Laplace

Cálculo de determinantes ( de orden 2 y 3 ) aplicando la regla de Sarrus

Aproximación al concepto de determinante. Determinante de orden 3 asociado a una matriz cuadrada de orden 3.

Aproximación al concepto de determinante. Determinantes de orden 2 y sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas compatibles determinados