Álgebra lineal y geometría

ENUNCIADO. Dados los planos $\pi_1: ax+y-z+1=0$ y $\pi_2:x+ay+z-2=0$, determinar, en caso de que existan, el valor o posibles valores del parámetro $a$, para cada uno de los siguientes supuestos:
a) Que $\pi_1$ y $\pi_2$ sean paralelos
b) Que $\pi_1$ y $\pi_2$ sean perpendiculares
c) Que la recta de intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$ sea perpendicular al plano de ecuación $x=y$.

SOLUCIÓN.
a)
Un vector perpendicular a $\pi_1$ es $w_1=(a,1,-1)$ y un vector perpendicular a $\pi_2$ es $w_2=(1,a,1)$. Si $\pi_1$ y $\pi_2$ son paralelos, $w_1 \propto w_2$, con lo cual existe un escalar $k$ tal que $w_1=k\,w_2$ y, por tanto, deberá cumplirse que $(a,1,-1)=k\,(1,a,1)$, es decir, $(a,1,-1)-k\,(1,a,1)=(0,0,0)$, y, por consiguiente: $$\left\{\begin{matrix}a-k&=&0 \\ 1-k\,a&=&0 \\ -1-k&=&0\end{matrix}\right.$$ De la tercera ecuación se desprende que $k=-1$ y sustituyendo en cualquiera de las otras dos obtenemos $a=-1$

b)
Si $\pi_1$ y $\pi_2$ son perpendiculares, también lo son los vectores $w_1$ y $w_2$, luego el producto escalar euclidiano ha de ser igual a cero: $$\langle w_1, w_2 \rangle =0$$ esto es $$\langle (a,1,-1), (1,a,1)\rangle =0 \Leftrightarrow 2\,a-1=0 \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}$$

c)
Procedimiento I:
Si la recta $r=\pi_1 \cap \pi_2$ ha de ser perpendicular al plano $\pi_3:x-y=0$, entonces la incidencia de los tres planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$ ha de dar como resultado un punto de $\mathbb{R}^3$, y, por consiguiente, al tener solución única el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}ax&+&y&-&z&=&-1\\ x&+&ay&+&z&=&2 \\ x&-&y&&&=&0\end{matrix}\right.$$ ha de ser compatible determinado ( teorema de Rouché-Fröbenius ), y, para que ello sea posible, la matriz de los coeficientes del sistema ha de tener rango igual a $3$, esto es, su determinante ha de ser no nulo; veamos si eso se cumple:
$$\begin{vmatrix}1 & -1 & 0 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1\end{vmatrix}=1-1-a+a=0 \; \forall a \in \mathbb{R}$$ luego debemos concluir que no existe ningún valor de $a$ para el cual pueda satisfacerse el requerimiento del tercer apartado.


Procedimiento II:
Podemos calcular la recta de intersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ ( siempre que $a \neq -1$, en cuyo caso no hay intersección por ser los planos paralelos ) resolviendo el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{ \begin{matrix} ax+y-z+1=0 \\ x+ay+z-2=0\end{matrix}\right.$$ que debe ser compatible indeterminado, con dos variables principales y una variable secundaria; eligiendo $z$ como variable secundaria ( $\lambda:=z$ ) tenemos $$\left\{ \begin{matrix} ax+y=\lambda-1 \\ x+ay=2-\lambda\end{matrix}\right.$$ Para que el sistema sea compatible el rango de la matriz de los coeficientes $$\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a\end{pmatrix}$$ ha de ser igual a $2$ y por tanto su determinante ha de ser distinto de cero, con lo cual $$a^2-1 \neq 0 \Leftrightarrow a \neq -1 \; \text{( condición que ya conocíamos ) y } \; a \neq 1$$

Resolviendo el sistema por Cramer, $$x=\dfrac{\begin{vmatrix}\lambda -1 & 1 \\ 2-\lambda & a \end{vmatrix}}{a^2-1}=\dfrac{\lambda\,(1+a)-(2+a)}{a^2-1}$$ $$y=\dfrac{\begin{vmatrix}a & \lambda-1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}}{a^2-1}=\dfrac{-\lambda\,(1+a)+1+2a}{a^2-1}$$

Entonces, la recta de intersección viene dada por $$r:\{(x,y,z)=(\dfrac{\lambda\,(1+a)-(2+a)}{a^2-1}, \dfrac{-\lambda\,(1+a)+1+2a}{a^2-1}, \lambda): \lambda \in \mathbb{R}\}$$ Entonces un vector de la recta $r$ viene dado por $$(a^2-1,a^2-1,1)$$

Ahora bien, un vector perpendicular al plano de ecuación $x=y$ ( esto es $x-y=0$ ) es $(1,-1,0)$, luego $(a^2-1,a^2-1,1)$ debería ser proporcional a $(1,-1,0)$, sin embargo vemos que esto es imposible pues al comparar las terceras componentes ( que no dependen de $a$ ) llegamos a $1 = 0$, que es evidentemente falso. Luego debemos concluir que no existe ningún valor de $a$ que cumpla el requerimiento del enunciado.
$\square$