Determinar el punto simétrico ...

ENUNCIADO. Dado el punto $P(2,1,-1)$, determinar el punto simétrico de $P$ respecto al plano que pasa por los puntos $A(0,2,-1)$, $B(1,-3,0)$ y $C(2,1,1)$

SOLUCIÓN.

1) Ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A,B$ y $C$:
Dos vectores de $\pi$ son
$\overset{\rightarrow}{AB}=(1-0,-3-2,0-(-1))=(1,-5,1)$
y
$\overset{\rightarrow}{AC}=(2-0,1-2,1-(-1))=(2,-1,2)$
Por tanto, un vector $\vec{n}$ perpendicular al plano $\pi$ viene dado por $$\overset{\rightarrow}{AB} \times \overset{\rightarrow}{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1 & -5 & 1 \\ 2 & -1 & 2\end{vmatrix}=(-9,0,9) \propto \vec{n}=(-1,0,1)$$
luego la ecuación del plano es $$(-1)\,x+0\cdot y + 1 \cdot z + D =0$$
Falta determinar el valor de $D$; para ello, tengamos en cuenta que $A(0,2,-1) \in \pi$, por consiguiente $$-1\cdot 0+ 0\cdot 2 +1\cdot (-1) + D = 0 \Rightarrow D=1$$ por consiguiente $$\pi:-x+z+1=0$$

2) Recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $P(2,1,-1)$:
Un vector con la misma dirección que $r$ es cualquier vector perpendicular a $\pi$, por ejemplo $\vec{n}=(-1,0,1)$, luego una ecuación de $r$ en forma continua podemos escribirla de la forma $$r:\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-1}{0}=\dfrac{z-(-1)}{1}$$
por lo que las ecuaciones implícitas de $r$ vienen dadas por $$r:\left\{\begin{matrix}\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-1}{0}\\\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{z-(-1)}{1} \end{matrix}\right.$$ es decir $$r:\left\{\begin{matrix} y = 1\\ x+z=1\end{matrix}\right.$$

3) Punto $Q$ de intersección de $r$ y $\pi$:
$$Q:\left\{\begin{matrix} y= 1 \\ x+z=1 \\-x+z=-1\end{matrix}\right.$$ resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos $$\left\{\begin{matrix} x_Q=1\\ y_Q=1 \\ z_Q=0\end{matrix}\right.$$

4)
Calculamos el vector que con origen en $P$ apunta a $Q$:
$$\overset{\rightarrow}{PQ}=(1-2,1-1,0-(-1))=(-1,0,1)$$ Denotando por $P'$ al punto simétrico de $P$ con respecto de $\pi$, deberá cumplirse que $$\overset{\rightarrow}{PP'}=2 \cdot \overset{\rightarrow}{PQ}$$ esto es $$(x_{P'}-2,y_{P'}-1,z_{P'}-(-1))=(2\cdot (-1),2\cdot 0, 2\cdot 1)$$ y por tanto $$\left\{\begin{matrix} x_P'=0\\ y_P'=1 \\ z_P'=1\end{matrix}\right.$$ luego el punto simétrico del punto simétrico de $P$ es $$P'(0,1,1)$$

Finalmente, Ccomprobemos que $\text{distancia}(P,\pi)=\text{distancia}(P',\pi)$:

Recordemos que dado un plano $\pi: Ax+By+Cz+D=0$ y un punto $R(x_R,y_R,z_R)$, entonces $$\text{distancia}(R,\pi)=\dfrac{\left|A\,x_R+B\,y_R+C\,z_R+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$ Entonces
$$\text{distancia}(P,\pi)=\dfrac{\left|A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\dfrac{\left|-1\cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) +1\right|}{\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}}=\sqrt{2}$$
que coincide con
$$\text{distancia}(P',\pi)=\dfrac{\left|A\,x_P'+B\,y_P'+C\,z_P'+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\dfrac{\left|-1\cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 +1\right|}{\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}}=\sqrt{2}$$
$\square$