Un ejercicio de geometría analítica

ENUNCIADO. Sean los puntos $A(0,5,3)$, $B(0,6,4)$, $C(2,4,2)$ y $D(2,3,1)$. Se pide:
a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios y que el polígono $ABCD$ es un paralelogramo
b) Calcular el área de dicho paralelogramo
c) Determinar el lugar geométrico de los puntos $P$ cuya proyección sobre el plano $\pi_{ABCD}$ es el punto medio del paralelogramo.

SOLUCIÓN.
a)
Para demostrar que los puntos $A,B,C$ y $D$ son coplanarios basta comprobar que los vectores $\vec{w}_1:=\overset{\rightarrow}{AB} \times \overset{\rightarrow}{AC}$ y $\vec{w}_2:=\overset{\rightarrow}{AC} \times \overset{\rightarrow}{AD}$ ( donde $\times$ denota el producto vectorial ) son linealmente dependientes. Calculando dichos vectores,
$$\vec{w}_1=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1\end{vmatrix}=2\,\vec{j}-2\,\vec{k}$$
y
$$\vec{w}_2=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2 & -1 & -1 \\ 2 & -2 & -2\end{vmatrix}=2\,\vec{j}-2\,\vec{k}$$
luego al ser iguales dichos vectores, queda probado que los cuatro puntos dados son coplanarios.

Por otra parte, para probar que dichos puntos son los vértices de un paralelogramo, hay que demostrar que $\overset{\rightarrow}{AB}$ y $\overset{\rightarrow}{CD}$ son linealmente dependientes; y que $\overset{\rightarrow}{DA}$ y $\overset{\rightarrow}{CB}$ son linealmente dependientes.

Entonces, como $\overset{\rightarrow}{AB}=(0-0,6-5,4-3)=(0,1,1)$ y $\overset{\rightarrow}{CD}=(2-2,3-4,1-2)=(0,-1,-1)=-\overset{\rightarrow}{AB}$, luego $\overset{\rightarrow}{AB}$ Y $\overset{\rightarrow}{CD}$ son linealmente dependientes1.

Veamos ahora el otro par de vectores: $\overset{\rightarrow}{DA}=(2-0,3-5,1-3)=(2,-2,-2)$ y $\overset{\rightarrow}{CB}=(0-2,6-4,4-2)=(-2,2,2)=-\overset{\rightarrow}{DA}$, luego $\overset{\rightarrow}{CB}$ Y $\overset{\rightarrow}{DA}$ son, también, linealmente dependientes. Por consiguiente, el polígono $ABCD$ es un paralelogramo.

b)
El área del paralelogramo $ABCD$ viene dada por $$\left\|\overset{\rightarrow}{AB} \times \overset{\rightarrow}{BC}\right\|$$ Calculando primero el producto vectorial, $$\overset{\rightarrow}{AB} \times \overset{\rightarrow}{BC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -2\end{vmatrix}=2\,\vec{j}-2\,\vec{k}$$ y su módulo es igual a $$\left\|\overset{\rightarrow}{AB} \times \overset{\rightarrow}{BC}\right\|=\left|\sqrt{(-2)^2+2^2}\right|=2\,\sqrt{2}$$ por consiguiente $$\text{Área de}\, ABCD = 2\,\sqrt{2}\; \text{unidades arbitrarias de área}$$

c)
El punto medio del paralelogramo $ABCD$ es el punto medio la diagonal $AC$ ( y de igual forma, es el punto medio de la diagonal $BD$ ), y, por tanto sus coordenadas son $$M=(\dfrac{2+0}{2},\dfrac{4+5}{2},\dfrac{2+3}{2}=(1,\dfrac{9}{2},\dfrac{5}{2})$$

Teniendo en cuenta que el lugar geométrico de los puntos $P$ cuya proyección ( ortogonal ) sobre el plano $\pi_{ABCD}$ es el punto $M$, el lugar geométrico pedido es la recta $r$ perpendicular a dicho plano que pasa por el punto $M$. Procedemos a encontrar dicha recta.

Un vector perpendicular al plano $\pi_{ABCD}$ es $$\overset{\rightarrow}{AB} \times \overset{\rightarrow}{BC}=2\,\vec{j}-2\,\vec{k}$$ y por tanto un vector linealmente dependiente con éste es $$\vec{u}=(0,1,-1)$$ Así la ecuación de la recta perpendicular a $\pi_{ABCD}$ que pasa por $M( 1,\dfrac{9}{2},\dfrac{5}{2})$ en forma continua es $$r:\dfrac{x-1}{0}=\dfrac{y-9/2}{1}=\dfrac{z-5/2}{-1}$$ Las ecuaciones cartesianas ( implícitas ) de la misma son $$r:\left\{\begin{matrix}x=1\\z+y=7\end{matrix}\right.$$ Como una recta tiene $1$ grado de libertad, basta un parámetro libre para describirla; tomando $z$ como parámetro libre ( $\lambda:=z$ ) una ecuación paramétrica de la misma es $$r:\{(x,y,z)=(1,7-\lambda,\lambda): \lambda \in \mathbb{R}\}$$

$\square$