Cálculo con matrices

ENUNCIADO.
a) Despejar $X$ en la ecuación matricial $$X\,(C\,D)^{-1}=A+X\,(D^{-1}\,C^{-1}-B)$$ siendo $A,B,C,D$ matrices cuadradas invertibles. Expresar $X$ de la forma más simple posible.
b) Para $$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix}$$ y $$B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$ determinar la matriz $Y$ tal que $YB=A$

SOLUCIÓN.
a)
$X\,(C\,D)^{-1}=A+X\,(D^{-1}\,C^{-1}-B)$
  $X\,(C\,D)^{-1}-X\,(D^{-1}\,C^{-1}-B)=A+X\,(D^{-1}\,C^{-1}-B)-X\,(D^{-1}\,C^{-1}-B)$
    $X\,(C\,D)^{-1}-X\,(D^{-1}\,C^{-1}-B)=A+O$
      $X\,(C\,D)^{-1}-X\,(D^{-1}\,C^{-1}-B)=A$
        $X\,(C\,D)^{-1}-X\,(D^{-1}\,C^{-1}-B)=A$
          $X\,( (D^{-1}\,C^{-1} - (D^{-1}\,C^{-1}-B) )=A$
            $X\,(D^{-1}\,C^{-1} - D^{-1}\,C^{-1}+B)=A$
              $X\,(O+B)=A$
                $X\,B=A$
                  $X\,B\,B^{-1}=A\,B^{-1}$
                    $X\,I=A\,B^{-1}$
                      $X=A\,B^{-1}$

b)
Por lo que acabamos de ver, si $YB=A$ entonces $Y=A\,B^{-1}$. Procedemos a calcular la inversa de $B$; para ello utilizaremos el método de Gauss-Jordan, que consiste en realizar operaciones elementales para transformar $(B|I)$ en $(I|B^{-1})$

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right) \overset{f_1+f_2 \rightarrow f_2;(-1)\cdot f_1+f_3 \rightarrow f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right) \rightarrow$
$\overset{\dfrac{1}{2}\cdot f_3+f_1\rightarrow f_1}{\rightarrow}\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right) \overset{(-1)\cdot f_2+f_1\rightarrow f_1}{\rightarrow}$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -1/2 & -1 & 1/2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right) \overset{\dfrac{1}{2}\cdot f_3\rightarrow f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -1/2 & -1 & 1/2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1/2 & 0 & 1/2 \\
\end{array}\right)$
luego
$B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
-1/2 & -1 & 1/2 \\
1 & 1 & 0 \\
-1/2 & 0 & 1/2 \\
\end{array}\right)$
Entonces,
$Y=A\,B^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix}\,\left(\begin{array}{ccc}
-1/2 & -1 & 1/2 \\
1 & 1 & 0 \\
-1/2 & 0 & 1/2 \\
\end{array}\right)=\begin{pmatrix} -1/2 & -2 & 1/2 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1/2 & -1 & 3/2\end{pmatrix}$
$\square$