Consideremos la parábola $y=x^2$. Queremos calcular la longitud del arco de parábola comprendido entreo los puntos de abscisas $3$ y $6$
Haciendo un dibujo esquemático vemos que, por el teorema de Pitágoras, la relación entre los incrementos finitos $\Delta\,s$, $\Delta\,x$ y $\Delta\,y$ es $$(\Delta\,s)^2 \approx (\Delta\,x)^2 + (\Delta\,y)^2$$ dividiendo por $(\Delta\,x)^2$ en ambos miembros, se tiene que $$\dfrac{(\Delta\,s)^2}{(\Delta\,x)^2} \approx 1 + \dfrac{(\Delta\,y)^2}{(\Delta\,x)^2}$$
y por tanto
$$(\Delta\,s)^2 \approx \left(1 + \dfrac{(\Delta\,y)^2}{(\Delta\,x)^2}\right) \,(\Delta\,x)^2 $$
Ahora, si $\Delta\,x, \Delta\,y \rightarrow 0$, entonces $\Delta\,s \rightarrow 0$, con lo cual podemos escribir lo anterior con diferenciales en lugar de incrementos finitos, cambiando la relación de aproximadamente igual por la de exactamente igual:
$$(ds)^2 = \left(1 + \dfrac{(dy)^2}{(dx)^2}\right) \,(dx)^2 $$
es decir,
$$ds = \sqrt{\left(1 + \dfrac{(dy)^2}{(dx)^2}\right)} \,dx $$
que, por la definición de derivada de función, es lo mismo que
$$ds = \sqrt{\left(1 + (y'_x)^2\right)} \,dx $$
Entonces, integrando entre los extremos del arco, $A$ y $B$, podemos escribir la longitud del arco como la integral definida
$$s_{AB} = \int_{x_A}^{x_B}\, \sqrt{\left(1 + (y'_x)^2\right)} \,dx $$
En el caso que nos ocupa:
$$s_{AB} = \int_{3}^{6}\, \sqrt{\left(1 + 4\,x^2 \right)} \,dx$$
Es difícil calcular una primitiva de la función $\sqrt{1 + 4\,x^2}$, por lo que podemos recurrir a un método numérico aproximado, como es, por ejemplo, el método de los rectángulos. Tomaremos, por ejemplo, $10$ intervalos equiespaciados una distancia $h=\dfrac{6-3}{10}=0,3$ , es decir, la suma de las áreas de los $10$ rectángulos de base $h$ y alturas respectivas $\sqrt{1+4\,(x_0+i\,h)^2}\; (i=0,1,2,\ldots,9)$, donde $x_0=3$ y $x_9=6$, será igual aproximadamente a dicha integral definida que queremos calcular. Entonces,
$s_{AB}=\displaystyle \int_{3}^{6}\, \sqrt{\left(1 + 4\,x^2 \right)} \,dx \approx \sum_{i=0}^{9}\,\left(h\,\sqrt{1+4\,(x_0+i\,h)^2}\right) = h\,\sum_{i=0}^{9}\,\sqrt{1+4\,(x_0+i\,h)^2}=$
$\displaystyle=0,3\,\sum_{i=0}^{9}\,\sqrt{1+4\,(3+0,3\cdot i)^2}$
$=0,3\,\left(\sqrt{1+4\,(3+0,3\cdot 0)^2}+\sqrt{1+4\,(3+0,3\cdot 1)^2}+\sqrt{1+4\,(3+0,3\cdot 2)^2}+\ldots+\sqrt{1+4\,(3+0,3\cdot 9)^2}\right)$
$\approx 26,28\,\text{u.a.}\ell.$ (unidades arbitrarias de longitud)
- La suma anterior puede hacerse cómodamente con la ayuda de una hoja de cálculo
- Si dividimos el dominio de integración en 10 intervalos elegimos un número mayor de ellos, es evidente que la precisión del resultado será mayor
- Se demuestra que la cota de error que nos da el método de los rectángulos viene dada por $\Delta = \dfrac{h}{2}\,(x_0-x_9)\cdot M$, donde $M:=\text{máximo}(\{|f'(x)|\})$, siendo $f(x)$ la función del integrando, $f(x)=\sqrt{1+4x^2}$, por lo que $f'(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{1+4x^2}}$, pudiéndose comprobar que el máximo absoluto, $M$, de $f'(x)$, es $\text{máximo}(\{|f'(x)|\})=1,99$ (véase la gráfica de la derivada de $f$ en la figura), luego $\Delta=\dfrac{0,3}{2}\cdot (6-3)\cdot 1,99 \approx 0,90$, por lo que el intervalo de incertidumbre en el cálculo aproximado que hemos hecho es $\left[26,28-0,90\quad , \quad 26,28+0,90\right]$; es decir, podemos afirmar que $s_{AB}=26,28 \pm 0,90\, \text{u.a.}\ell.$
- Existen, desde luego, métodos de integración numérica mejores que el sencillo método de los rectángulos
