Valoración de una integral definida según un parámetro que aparece en la función integrando

¿A qué es igual la integral definida $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-kx}\,dx$, si $k\in \mathbb{R}$ puede ser negativo, positivo o bien cero?

Una primitiva de la función del integrando, $f(x)=e^{-kx}$, es $-k\,e^{-kx}$, luego la integral definida es

$$\displaystyle \left[-k^{-kx}\right]_{0}^{+\infty}=-k\,e^{-k\cdot (+\infty)}-(-k\cdot e^{0})=-k\,e^{-k\cdot (+\infty)}-(-k\cdot 1)=-k\,(e^{-k\cdot (+\infty)}-1)$$ Entonces,

1. Si $k\gt 0$, $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-kx}\,dx=\left(-k\cdot (e^{-k\cdot (+\infty)}-1)\right)=-k\cdot (e^{-\infty}-1)=-k\cdot (0-1)=k \gt 0$
2. Si $k=0$, $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-kx}\,dx=\int_{0}^{+\infty} e^{0}\,dx=\int_{0}^{+\infty} 1\cdot dx=\int_{0}^{+\infty} \,dx=\left[x\right]_{0}^{+\infty}=+\infty$, la integral diverge
3. Si $k\lt 0$, entonces $-k\gt 0$, luego $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-kx}\,dx=\left(-k\,(e^{-k\cdot (+\infty)}-1)\right)=-k\cdot (e^{+\infty}-1)=-k\cdot (+\infty-1)=-k\cdot (+\infty)=+\infty$, esto es, la integral diverge

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