Acerca de la resolución de algunas ecuaciones trascendentes que son típicas de la Olimpiada Matemática

Un problema que suele aparecer en alguna edición de la Olimpiada Matemática consiste en resolver ecuaciones del tipo $x^a=b^x$, donde $a$ y $b$ son números reales positivos, los cuales figuran como constantes. En ecuaciones trascendentes de este tipo suele recurrirse a expresar la solución (que puede estar formada por varios valores) de manera que interevenga la denominada función $W$ de Lambert, la cual, básicamente, y sin entrar en detalles tiene la siguiente propiedad que la caracteriza: $W(z\,e^{z})=z \quad (1)$, donde $z$ es, en principio, una función que toma valores en el conjunto de los números complejos, si bien, en particular, puede ser también una función que tome valores en el conjunto de los números reales, como es el caso del que trataré aquí. Voy a exponer cómo podemos utilizar esta propiedad, expresando como he dicho, la solución en términos de los valores que tome la función $W$ de Lambert para el correspondiente argumento de la misma, en cada caso. Sencillamente, nuestra labor consistirá en tratar de configurar la función $z$, que, naturalmente, va a depender de la variable $x$ (incógnita de la ecuación), aplicar la propiedad $(1)$ y, finalmente, despejar la incógnita $x$.

Procedamos, paso a paso, a realizar las manipulaciones algebraicas necesarias para tal fin:
  $x^a=b^x$
    $\ln(x^a)=\ln(b^x)$
      $a\,\ln(x)=x\,\ln(b)$
        $\dfrac{\ln(x)}{x}=\dfrac{\ln(b)}{a}$
          $\dfrac{1}{x}\,\ln(x)=\dfrac{\ln(b)}{a}$
            $\dfrac{1}{x}\,\left(-\ln(\frac{1}{x})\right)=\dfrac{\ln(b)}{a}$
              $-\dfrac{1}{x}\,\ln(\frac{1}{x})=\dfrac{\ln(b)}{a}$
                $\dfrac{1}{x}\,\ln(\frac{1}{x})=-\dfrac{\ln(b)}{a}$
Ahora, asociemos $z$ de la propiedad $(1)$ con $\dfrac{1}{x}$, y apliquemos la función $W$ de Lambert en cada miembro:
                $W\left(\dfrac{1}{x}\,\ln(\frac{1}{x})\right)=W\left(-\dfrac{\ln(b)}{a}\right)$
con lo cual, según la propiedad que caracteriza la función de Lambert, el primer miembro de la iguadad anterior es igual a $\dfrac{1}{x}$, por tanto llegamos a
                $\dfrac{1}{x}=W\left(-\dfrac{\ln(b)}{a}\right)$ luego,
                  $x=\dfrac{1}{W\left(-\dfrac{\ln(b)}{a}\right)} \quad (2)$

Ejemplo: Sean $a=2$ y $b=3$; es decir, resolvamos la ecuación $x^2=3^x$. En este caso, vemos (gráficamente) que la solución consta de un único valor, tal como puede comprobarse debajo:

Pues bien, de acuerdo con $(2)$ y los valores de $a$ y $b$ referidos, podemos decir que el resultado exacto de la ecuación es $x=\dfrac{1}{W\left(-\dfrac{\ln(3)}{2}\right)}$, y ahí acabaríais si estuviéseis resolviendo el ejercicio en unas olimpiadas matemáticas. Por otra parte, el valor aproximado de la solución que estamos visualizando en la gráfica, podemos obtenerlo de la tabulación de la función $W$ de Lambert entrando con el argumento $-\dfrac{\ln(3)}{2}$, e invirtiendo lo que resulte: $$x \approx -0,6860$$ -oOo-

Referencias para el profesor:

  [1]   [http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/especial/lambert/lambert.html]
  [2]   [https://es.wikipedia.org/wiki/Función_especial]
  [3]   [WolframAlpha]

$\diamond$