$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{x^x}{x!}=?$, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{x!}{x^x}=?$

Se pide estudiar los siguientes límites: $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{x^x}{x!}$$ y $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{x!}{x^x}$$

Para $x\gg 1$, se sabe que $x! \sim x\,\ln(x)$ lo cual podemos visualizar comparando las gráficas de $x!$ y $x\,\ln(x)$ como se muestra en la siguiente figura, que he elaborado con la utilidad en línea WolframAlpha:

Por lo tanto:
  $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{x^x}{x!}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{x^x}{x\,\ln(x)}$
Y, por la regla de L'Hôpital:
  $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{x^x}{x\,\ln(x)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{(x^x)'}{(x\,\ln(x))'}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{x^x\,(1+\ln(x))}{1+\ln(x)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,x^x=+\infty$
En conclusión: el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{x^x}{x!}$ diverge, por consiguiente $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{x!}{x^x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\left(\dfrac{x^x}{x!}\right)^{-1}=\dfrac{1}{+\infty}=0$, converge a $0$

$\diamond$