Cálculo de integrales indefinidas por medio de cambios de variable

Calculemos la integral indefinida $\displaystyle \int\,\ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right)\,dx$, siendo $p,q,r \in \mathbb{R}^+$. Ayuda: Como es sabido por un resultado anterior, aplicando el método de integración por partes, se sugiere utilizar $\int\,\ln(t)\,dt=t\,(\ln(t)-1)+C$.

Transformemos (de manera equivalente) la función del integrando para poder aplicar el resultado conocido: $\displaystyle I:=\int\,\ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right)\,dx= \int\,\ln\,\left( \dfrac{p/p}{q/p+(r/p)\,x} \right)\,dx=\int\,\ln\,\left( \dfrac{1}{q/p+(r/p)\,x} \right)\,dx=$
$=\displaystyle \int\,\left( \ln(1)-\ln\,(q/p+(r/p)\,x) \right)\,dx=\int\,\ln(1)\,dx-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=$
$=\int\,0\,dx-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=0-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx$

Mediante el cambio de variable $t:=\dfrac{q}{p}+\dfrac{r}{p}\,x$ se tiene que $dt=\dfrac{r}{p}\,dx$ y por tanto $dx=\dfrac{p}{r}\,dt$, con lo cual $\displaystyle I=-\int\,\dfrac{p}{r}\,\ln(t)\,dt=-\dfrac{p}{r}\,t\,(\ln(t)-1)+C$; y, deshaciendo el cambio de variable:

$$I=-\dfrac{p}{r}\,\left[ \dfrac{q+rx}{p} \, \left( \ln\,\left(\dfrac{q+rx}{p}\right) -1 \right) \right] +C = \dfrac{1}{r}\,(q+r\,x)\,\left[ \ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right) +1 \right]+C\,.\diamond$$

Cálculo de integrales definidas

Calculemos la integral definida $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx$.

Por el primer teorema fundamental del cálculo (TFC1), sabemos que $\displaystyle \int\,f(x)\,dx=F(x)+C$ de tal manera que $(F(x)+C)'=f(x)$. En primer lugar, por tanto, vamos a calcular una función primitiva, $F(x)$, de la familia de primitivas $F(x)+C$ que corresponde a la solución de la integral indefinida $\displaystyle \int\,f(x)\,dx$, donde en este caso concreto que nos ocupa $f(x)=\dfrac{3}{3+2x}$ es la función integrando; y, finalmente aplicaremos el segundo teorema fundamental del cálculo (TFC2), también conocido como regla de Barrow: $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=F(12)-F(6)$, tomando una función cualquiera de la familia de primitivas (eligiendo cualquier valor de la constante de integración $C$).

Cálculo de la familia de primitivas: $I:=\displaystyle \int\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\int\,\dfrac{3/3}{3/3+(2/3)\,x}\,dx=\int\,\dfrac{1}{1+(2/3)\,x}\,dx$. Sabemos que $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{t}\,dt=\ln\,t+C$, así que, mediante el cambio de variable $t:=1+(2/3)\,x$ se tiene que $dt=\dfrac{2}{3}\,dx$, luego $dx=\dfrac{3}{2}\,dt$, con lo cual $I=\displaystyle \int\,(3/2)\,\dfrac{dt}{t}=\dfrac{3}{2}\,\int\,\dfrac{dt}{t}=\dfrac{3}{2}\,\ln\,t+C$. Y deshaciendo el cambio de variable, $I=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\,x)+C$. Una función primitiva es, por ejemplo, $F(x):=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\,x)$, donde, por comodidad, hemos elegido arbitrariamente el valor cero para la constante de integración (cualquier otro valor de la constante de integración lleva al mismo resultado de la integral definida).

A continuación, según TFC2, llegamos finalmente a: $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\left[\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\right]_{6}^{12}=\displaystyle \dfrac{3}{2}\,\left( \ln\,(1+\dfrac{2}{3}\cdot 12) - \ln\,(1+\dfrac{2}{3}\cdot 6 \right)=\dfrac{3}{2}\,\left(\ln(9)-\ln(5)\right)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,\left(\dfrac{9}{5}\right)$.

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Nota: De una manera más directa,

$$\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\int_{5}^{9}\,\dfrac{3}{2}\,\dfrac{1}{t}\,dt= \displaystyle \dfrac{3}{2}\,\left[\,\ln\,t\,\right]_{5}^{9}=\dfrac{3}{2}\,\left(\ln(9)-\ln(5)\right)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,\dfrac{9}{5}.\, \diamond$$