Geometría analítica en el espacio. Lugares geométricos.

ENUNCIADO. Determinese la ecuación reducida de la superficie del hiperboloide $\mathcal{H}$ cuyos focos son $F(1,0,0)$ y $F'(-1,0,0)$, sabiendo que la diferencia de distancia de un punto genérico de la superficie a los dos focos es igual a $1$ unidad de longitud arbitraria.

NOTA. Este ejercicio puede considerarse de ampliación ( en 2.º de Bachillerato ).

SOLUCIÓN. Por la condición de lugar geométrico, $$\mathcal{H}=\{X(x,y,z):\text{dist}(X,F)-\text{dist}(X,F')=1\}$$ Así pues $$|\sqrt{(x-(-1))^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|-|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|=1$$ (1). Así pues $$|\sqrt{(x-(-1))^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|-|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|=1$$ y por tanto $$|\sqrt{(x-(-1))^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|=1+|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|$$ Elevando al cuadrado sendos miembros de la igualdad $$(x+1)^2+y^2+z^2=1+2\,|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|+(x-1)^2+y^2+z^2$$ Simplificando, $$4x-1=2\,|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|$$ Y volviendo a elevar al cuadrado los dos miembros $$(4x-1)^2=4\,((x-1)^2+y^2+z^2)$$ Simplificando, $$12x^2-4y^2-4z^2=3$$ esto es $$4x^2-\dfrac{4}{3}y^2-\dfrac{4}{3}z^2=1$$ que podemos escribir de la forma $$\dfrac{x^2}{(1/2\,)^2}-\dfrac{y^2}{(\sqrt{3/4}\,)^2}-\dfrac{z^2}{(\sqrt{3/4}\,)^2}=1$$ que corresponde a la ecuación reducida de un hipérboloide de dos hojas, pues es del tipo $$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$$ . Los semiejes tienen los siguientes: $a=\dfrac{1}{2}$ y $b=c=\sqrt{\dfrac{3}{4}}$

Con la ayuda de GeoGebra, se obtiene la siguiente representación de dicha superficie:

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OBSERVACIONES:
(1) Este tipo de condiciones de lugar geométrico en el espacio -- que son generalizaciones de las que se dan en el plano para describir las cónicas -- dan lugar a una ecuación cuadrática $$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0$$ que describe un cierto tipo de superficies en el espacio, llamadas cuádricas ( elipsoides, paraboloides, hiperboloides, cilindros, conos, ... ). En el caso de este ejercicio en concreto, la cuádrica que se ha obtenido corresponde a un hiperboloide de dos hojas.

(2) Una cónica ( ya sea una elipse, una hipérbola, o una parábola ) es la intersección de un plano con una cuádrica, por lo que las cónicas se denominan secciones cónicas.

Un ejercicio de optimización. Aplicaciones de la derivada.

Proyecciones ortogonales de rectas sobre planos

ENUNCIADO. Sea el plano $\pi\equiv x+y+2z-1=0$ y la recta $r\equiv x=y=-z$, se pide:
a) La ecuación de la recta $r'$ que resulta de la proyección ortogonal de $r$ sobre $\pi$
b) El ángulo formado entre un vector director de $r$ y un vector característico del plano $\pi$

SOLUCIÓN. Como vamos a ver enseguida, el caso de éste problema en concreto muy particular, pues la recta y el plano dados son paralelos.

a) Un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}_r=(1,1,-1)$ y un vector perpendicular a $\pi$ es $\vec{n}=(1,1,2)$. Observemos que $\langle \vec{u}_r,\vec{n}_\pi \rangle = 1\cdot 1+1\cdot 1+(-1)\cdot 2=0$ de lo cual se deduce que dichos vectores son perpendiculares, luego $r$ es paralela a $\pi$.

Es evidente que el punto $A_{r}(0,0,0)$ de la recta $r$ no pertenece a $\pi$, puesto que sus coordenadas no satisfacen la ecuación general de dicho plano; de ésto se deduce que la recta $r$ no está en el plano $\pi$.

Para encontrar la ecuación de su proyección sobre $\pi$ -- ya conocemos un vector director, que es el mismo que el de $r$, por ser $r$ paralela a $\pi$ --, necesitamos conocer un punto de $r'$, como es por ejemplo el punto que resulta de la proyección ortogonal de $A_r(0,0,0)$ sobre $\pi$, punto que, claramente, estará también en $r$ y que denotaremos por $A_{r'}$. Procedemos pues a calcularlo.

La intersección del plano $\pi$ con la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $A_r(0,0,0)$ nos dará el punto de $r'$, que estamos buscando. La recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $A_r(0,0,0)$, a la que denotaremos por $s$, tiene por vector director el vector característico de $\pi$, esto es $\vec{u}_s:=\vec{n}_{\pi}=(1,1,2)$, luego la ecuación de dicha recta es $$s\equiv (x,y,z)=(0,0,0)+\alpha\,(1,1,2)$$ cuyas ecuaciones cartesianas son $$\left\{\begin{matrix}x=y\\z=2x\end{matrix}\right.$$ Así que las coordenads del punto $A_{r'}$ son solución del sistema de ecuaciones formado por la ecuación del plano $\pi$ y las ecuaciones cartesianas de $s$: $$A_{r'}\equiv \left\{\begin{matrix}x+y+2z=1\\y=x\\z=2x\end{matrix}\right.$$ Fácilmente resolvemos este sistema, obteniendo las coordenadas del punto $$P_{r'}=(1/6,1/6,1/3)$$ Con lo cual la recta proyección de $r$ sobre $\pi$ pedida tiene por ecuación $$r'\equiv (x,y,z)=(1/6,1/6,1/3)+\mu\,(1,1,-1)$$

b) Como el plano $\pi$ y la recta $r$ son paralelos, es obvio que el ángulo formado entre $r$ y $\pi$ es de $0^{\circ}$, o lo que es lo mismo: $\measuredangle (\vec{u}_r,\vec{n}_\pi)=90^{\circ}$
$\square$

ENUNCIADO. Se consideran las rectas $$r\equiv (x,y,z)=(1,1,-1+\lambda\,(-1,-1,0)$$ y $$s\equiv \left\{\begin{matrix}x++z+1=0\\y=0\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Demuéstrese que $r$ y $s$ son secantes
b) Calcúlese el ángulo entre $r$ y $s$

SOLUCIÓN.